克魯爾維數

設

為拓撲空間X的所有不可約閉子集的集合。則X的克魯爾維數定義為 ^[3] 

設R為交換幺環。則R的克魯爾維數定義為 ^[3] 

交換幺環R中所有素理想的高的上確界等於R的維數

。 ^[2] 

設

是交換幺環R的素理想，則素理想列

的長度的上確界稱為

的高，記為

。對任一理想

稱

為

的高。

克魯爾維數是決定環結構的一個參數，對賦值環的研究有重要意義。在代數幾何史上，維數的定義經歷了三個階段：最早是按流形的定義，即局部解析同構於n維單位球的流形為n維；到上個世紀末，德國學派將代數集的維數定義為函數域(在常數域上) 的超越次數；而20世紀40年代至今採用克魯爾維數，即函數環中素理想列的高的上確界，每個新定義都和原來的一致，但適用範圍更廣。

如果R是整環，則

當且僅當R是域；

整數環的維數為1；

阿廷環就是0維諾特環；

戴德金整環就是1維整閉諾特整環。

克魯爾主理想定理：設R為諾特環，

，f不是零因子也不是單位，則包含f的每個極小素理想的高均為1。

設Y為仿射簇，則Y的維數等於其仿射座標環A(Y)的維數。

仿射空間

的維數等於n。

若Y是擬仿射簇，則

。 ^[2] 

顯然

且對任一理想

有

對任意

有

。

如果R是諾特環，則

當且僅當每個有限生成R-模M都有合成列 ^[1]  。