合成列

在抽象代數中。合成列是藉着將代數對象（如羣、模等等）拆解為簡單的成分，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾

，使每個子商

皆為單模；這些單模稱為合成因子，n 稱為合成長度，都是M的不變量。亦可考慮M的子模範疇

，此時

可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-羣提供了模的半單化。 ^[1] 

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若爾當-赫爾德定理斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限羣或阿廷模的不變量。

設G為羣，G 的合成列是對應於一族子羣 ^[2] 

滿足

，使其子商

皆為非平凡的單羣；易言之，

是

的極大正規子羣。這些子商也稱作合成因子。對於有限羣，恆存在合成列。

固定環R及R-模M。M的合成列是一族子模

其中每個子商

皆為非平凡的單模。易言之，

是

的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若R 是阿廷環，根據Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的R-模皆有合成列。

例子 考慮 12 階循環羣

，它具有三個相異的合成列

合成因子分別為

其間僅差個置換。

若爾當-赫爾德定理

定理. 若羣〔或R-模 M〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。

略證：以下僅處理模的情形，羣的情形可依此類推。假設存在兩個合成列

對

行數學歸納法。若

則 M=0，若

則 M 是單模。以下假定

。

若

，據歸納法假設，

且

與

（

）之間僅差置換。此外

，故定理成立。

設

。此時必有

。置

，於是

取N的合成列

，依上式知

皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項M，則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列

的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。