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子範疇

鎖定
在數學中，一個範疇C的子範疇（subcategory）是一個範疇S，其物件為C內的物件，態射為C內的態射，且有相同的單位態射與態射覆合。直觀上來看，C的子範疇是一個從C中“移去”部分物件和態射的範疇。
中文名
子範疇
外文名
subcategory
學    科
數理科學
領    域
範疇論

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 內嵌
  3. 3 子範疇類型

子範疇定義

令
為一範疇。
的子範疇S給定於
中物件的子類，標記為
，
中態射的子類，標記為
，使得：
1) 對每個在
內的
而言，單位態射
會在
內；
2) 對每個在
內的態射
而言，源物件
和目標物件
都會在
內；
3) 對每對在
內的態射
和
而言，複合
會如其定義地在
內。
上述條件確定
本身也會是個範疇。其中存在一自然函子
，稱之為包含函子，單純為物件和態射的恆等函數。
一個範疇
的完全子範疇是一個
的子範疇
，會使得每對在
內的物件
和
，
一個完全子範疇是一個包括著在
的物件間“所有”態射的範疇。對任一堆在
內的物件
，必存在唯一一個
的全子範疇，其物件為
內的所有物件 [1]  。

子範疇內嵌

給定一個
的子範疇
，其包含函子
在物件上是忠實且單射的。此函子為完全的當且僅當
為一完全子範疇。
一個函子
被稱之為是一個內嵌若其為：
1）一個忠實函子；
2）在物件上是單射的。等價地説，
是一個內嵌若其在態射上為單射。一個函子
被稱之為完全內嵌，則是若其為一完全函子，且為一內嵌。
對任一（完全）內嵌
而言，
的值域是
的一個（完全）子範疇
，且
可導出一個由
和
間的範疇同構。

子範疇子範疇類型

一個
的子範疇
被稱之為同構封閉的，若每一個在C內的同構
（
在
內）也會屬於
。一個同構封閉完全子範疇被稱之為是嚴格完全的。
一個
的子範疇是寬的，若其包括所有
的物件。一個寬子範疇基本上不會是完全的：一個範疇唯一的完全寬子範疇即是此一範疇本身 [2]  。
一個塞爾子範疇是指一個阿貝爾範疇
的一非空完全子範疇
，其中對所有在
內的所有短正合序列
會屬於
，當且僅當
和
也屬於
。
參考資料
  • 1.    [1]鄭麗紅. 函子範疇的性質保持與擴張研究[D].福建師範大學,2015.
  • 2.    [2]朱寧靜,賀偉. 範疇CDCPO及其子範疇的完備性[J]. 模糊系統與數學,2014,06:1-8.