零點集

設

是定義在域k上的一組函數，那麼方程組

在域 k 中的公共解稱作它們的公共零點。

所有公共零點構成的集合稱作公共零點集。

設f_1,...f_s是係數定義在域k上的一組多項式， 那麼方程組f_1=...=f_s=0在域 k 中公共解稱作它們的公共零點，

如果k是代數閉域， 那麼上述方程組的公共零點集也稱做（仿射）代數簇. 如果f_i都是齊次方程, 那麼公共零點集也稱射影代數簇。 代數幾何就是要研究代數簇的幾何結構與方程的代數結構（即理想）之間的深刻聯繫--這也是傳統解析幾何的推廣和發展。

1. 黎曼zeta函數(ζ-函數)：ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...1/n^s+...解析延拓到整個複平面上有很多零點， 其中一些容易求出，稱作平凡零點；其餘的零點稱作非平凡零點。 黎曼猜測非平凡零點都落在實部為1/2的直線上--即著名的黎曼假設（也稱黎曼猜想）。

2. 單變量多項式f(x)=a_nx^n+...a_1x+a_0(這裏a_i是複數)對應的方程f(x)=0的零點就是我們常説的方程的根（在複數域上）。

高斯代數學基本定理： n次多項式方程的零點恰好有n個（允許重根）。

阿貝爾定理: 5次及5次以上的多項式方程的零點不存在一般的求根公式。

伽羅華理論: 多項式方程有求根公式當且僅當它的伽羅華羣是可解的。

3. 初等數論的不定方程f(x,y)=0, 這裏f是定義在有理數域Q上的二元多項式。 通常要求它的有理數解（這樣的零點稱作有理點）或整數解（稱作整點或格點）或者剩餘類解（即有限域上的零點）。比如

佩爾方程： x^2-dy^2=1, 求整數解(x,y)

勾股方程: X^2+Y^2=Z^2 求整數解(X,Y,Z) (這也等價於求單位圓x^2+y^2=1上的有理數解)

二次剩餘（也稱平方剩餘）: x^2-py=q求整數解(x,y) (等價於求剩餘類方程x^2≡q(mod p)的剩餘類解)。此方程有解的判定涉及著名的高斯二次互反律。

費馬方程: X^n+Y^n=Z^n (n＞2)求整數解(X,Y,Z), 要求XYZ≠0 . 費馬曾猜測該不定方程無解--即著名的費馬大定理， 由外爾斯與1994年獲證--其中用到了橢圓曲線的性質。

1. （全純函數零點定理）單變量復全純函數的零點集是離散的。 換言之， 如果全純函數的一組零點收斂於定義域中的某個點， 那麼該函數恆為0.

該定理的等價描述就是所謂的全純函數剛性定理： 兩個全純函數如果在一組收斂點列上取值相同，那麼它們必定處處相等。 剛性定理是複變函數中的解析延拓定理的基礎。

2. 儒歇定理： 假設兩個全純函數在邊界上恆有|f|＜|g|, 那麼在該邊界所圍的區域內g和g+f的零點個數相同（允許重根）

3. 輻角原理： 全純函數f(z)當z繞邊界旋轉一週時像點f(z)所繞的圈數等於零點個數減去極點個數（允許重根）

4. 希爾伯特零點定理： 代數閉域k上的多項式方程組f_1=...=f_s=0無公共零點（即零點集為空集）當且僅當存在多項式a_1,...,a_s使得a_1f_1+...+a_sf_s=1.

這裏考慮多項式方程組f_1=...=f_s=0。

我們把所有如下形式的多項式構成的集合稱作由f_1,...f_s生成的理想， 記作I=〈f_1,...f_s〉：

a_1f_1+...+a_sf_s, 這裏a_i是任何多項式.

顯然理想中的任何多項式元素都在公共零點集上取值為零。換言之， 我們在原方程組中添入理想中的若干多項式方程，並不影響方程的零點集。

無限個方程組 f_1=...=f_s=...=0也可以類似定義理想I=〈f_1,...f_s，...〉

希爾伯特基定理： ^[1]  上述理想一定是有限生成的, 也就是説我們可以挑出有限個元素，f_{i1}, f_{i2},...f_{ik}使得

〈 f_{i1},...,f_{ik} 〉 =〈f_1,...f_s，...〉

這就是説無限方程組的求解總是可以化成有限個方程組的求解。