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輻角原理

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輻角原理又稱柯西輻角原理，是複變函數中的一個重要原理，即沿着閉曲線C正向繞行一週後輻角argf(z)的改變量除以2π等於f(z)在C的內部的零點和極點個數的差值。輻角原理可用於求解複變函數的零點或極點個數，也可用於求解方程f(z)=a的根的個數。在自動控制理論中，輻角原理作為奈奎斯特穩定判據的理論基礎，用於判斷單變量系統的穩定性。
中文名
輻角原理
外文名
Argument Principle
別    名
柯西輻角原理
所屬學科
複變函數
應用1
求解複變函數的零點或極點個數
應用2
求解方程f(z)=a的根的個數
應用3
奈奎斯特穩定判據的理論基礎

目錄

  1. 1 對數留數
  2. 2 定義
  3. 3 證明
  4. 4 應用

輻角原理對數留數

積分
的值稱為複變函數
的對數留數。
設C是一條閉曲線，若
符合條件：
1）
在C內部除可能的極點外解析，即
為亞純函數；
2）
在C上解析且不為零，則有
其中
與
分別表示
在C的內部的零點和極點的個數（一個n級零點算作n個零點，而一個m級極點算作m個極點）。 [1] 

輻角原理定義

圖1 複變函數 圖1 複變函數
設複變函數
，當複平面Z上的z點沿閉曲線C的正向（逆時針）繞行一週時（如圖1a），複平面W上的
點就相應地畫出一條連續閉曲線Γ（如圖1b）。
根據複變函數對數的定義，有
由圖1以及上式可歸納出：
1）當Γ是一條包含原點的簡單閉曲線時，
點沿Γ繞行一週，上式右端第1項的量沒有變化，而第2項的量改變了
（逆時針繞行取正，順時針取負）；
2）當Γ曲線內不包含原點時，上式右端兩項的改變量均為零。 [2] 
設C是一條閉曲線，定義
為z沿着曲線C的正向繞行一週後
的改變量。
由此可得輻角原理如下：
設D是閉曲線C所圍成的區域，若（1）
在D內除可能的極點外解析，即為亞純函數；（2）
在C上解析且不為零，則 [1] 

輻角原理證明

由牛頓-萊布尼茨公式可知：
再由
可知
得證。 [1] 

輻角原理應用

1）用於求解複變函數的零點或極點個數
2）用於求解方程
的根的個數
3）在自動控制中，作為奈奎斯特穩定判據的理論基礎（奈奎斯特穩定判據用於分析單變量系統的穩定性）
參考資料
  • 1.    楊賀菊，姚衞．複變函數 ：清華大學出版社，2015
  • 2.    石辛民，翁智．實用工程數學 ：清華大學出版社，2014