霍赫希爾德同調

設k是一個環，A是一個k上結合代數，M是一個A上雙模。我們記

為A在k上的n重張量積。給出霍赫希爾德鏈復形是:

邊緣算子

定義為：

這裏對所有1≤i≤n-1，a_i∈A，而m∈M。如果我們令

則 b ° b = 0，所以 (C_n(A,M),b) 是一個鏈復形，叫做霍赫希爾德復形，其同調是A係數取M的霍赫希爾德同調，記作H_n(A,M)。並記HH_n(A)=H_n(A,A) ^[4] 

映射d_i是使模 C_n(A,M) 成為 k-模範疇中的單純對象的面映射（face map），也就是一個函子Δ^o→k-mod，這裏 Δ 是單純範疇（simplicial category）而 k-mod是k-模範疇。這裏Δ^o是Δ的反範疇。退化映射（degeneracy map）由 si(a₀⊗···⊗a_n)=a₀⊗···a_i⊗1⊗a_i+1⊗···⊗a_n定義。霍赫希爾德同調是這個單純模的同調。 ^[2] 

對含單位元代數A與B，存在自然同構HH_n(A⊕B)=HH_n(A)⊕HH_n(B)。

設M*=Hom(M,

)，M*為A雙模，定義為(afb)(m)=f(bma)。

Hⁿ(A,M*)=(H_n(A,M))*

特別地，有

HHⁿ(A)=HH_n(A)* ^[4] 

H₀(A,M)=M/[A,M]。 ^[4] 

單純圓周

是有限帶基點集合範疇 Fin* 中一個單純對象，即一個函子 Δo → Fin*。從而，如果 F 是一個函子 F: Fin → k-mod，通過將 F 與

複合，我們得到一個單純模

這個單純模的同調是函子 F 的霍赫希爾德同調。如上交換代數的霍赫希爾德同調是當F是 Loday 函子的特例。

有限帶基點集合範疇的一個骨架由對象

給出，這裏 0 是基點，而態射是保持基點的態射。令 A 是一個交換 k-代數，M 是一個對稱 A-雙模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin* 中的對象由

給出。態射

送到態射 f_*

這裏

而b_j= 1 如果f(j)=∅。 ^[3] 

一個交換代數A的係數取一個對稱A-雙模M的霍赫希爾德同調是與複合

相伴的同調，這個定義與上面的定義相同。