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德拉姆上同調
鎖定
德拉姆上同調(de Rham cohomology) 是同時屬於代數拓撲和微分拓撲的工具。它能夠以一種特別適合計算和用具體的上同調類的方式表達關於光滑流形的基本拓撲信息。它是基於有特定屬性的微分形式的存在性的上同調理論。它以不同的確定的意義對偶於奇異同調,以及Alexander- Spanier 上同調。
- 中文名
- 德拉姆上同調
- 外文名
- de Rham cohomology
- 所屬學科
- 代數拓撲
- 用 處
- 代數拓撲和微分拓撲的工具
- 證明時間
- 1931年
德拉姆上同調定義
德拉姆上同調基本介紹
概述
外導數
給了以下的映射
下面是一個基本的關係
恰當形式是閉形式。
其逆命題卻一般來説不成立;閉形式未必恰當。德拉姆上同調的想法就是給一個流形上不同類型的閉形式分類。分類這樣進行,如果
中的兩個閉形式
和
是上同調的,如果他們相差一個恰當形式,也就是,若
為恰當形式。這個分類導出一個
中的閉形式空間的一個等價關係。然後定義
階德拉姆上同調羣為
等價類的集合,也就是,
中閉形式模恰當形式。
注意,對所有有n個連通分量的流形
,
德拉姆上同調應用例證
例1
通常我們可以通過已知的0上同調羣和Mayer-Vietoris序列來計算一個流形的其他的德拉姆上同調羣。另一個有用的事實是德拉姆上同調是同倫不變量。下面是一些常見拓撲對象的上同調羣,但我們沒有給出計算步驟:
n-球:
n-圓環:
類似的, 令
,可以得到:
穿孔歐幾里得空間:
穿孔歐幾里得空間就是拿掉原點的歐幾里得空間。對於
, 我們有:
莫比烏斯帶(Möbius strip),
:
大致來説,下面的結果或多或少是因為莫比烏斯帶可"收縮(contract)"為一個1-球(圓):
其中
是一個形式,而
是調和的:
。
注意一個緊黎曼流形上的調和函數是一個常數。這樣,這個特殊的代表元素可以視為流形上所有上同調等價的形式中的一個極值(極小值)。例如,在2-圓環上,一個常1-形式可以視為在一個形式,它所有的"毛"都整齊的梳到一個方向(而且所有的毛都一樣長)。這個情況下,這表示2維環的第一貝蒂數是2。更一般的,在一個
維環
上,可以考慮
-形式的各種不同的梳理。有
種不同的梳理用來建立
的一個基;因此
-環的第
貝蒂數就是
。
更精確的講,對於一個微分流形
,可以裝備一個附加的黎曼度量。這樣拉普拉斯算子
可以定義為
若
為緊且可定向,拉普拉斯算子在
-形式的空間上的核的維度和
階德拉姆上同調羣的維度相同(根據霍奇理論:拉普拉斯算子從閉形式的每個上同調類中挑出唯一的一個調和形式)。特別的,所有
上的調和
-形式同構於
。每個這種空間的維度都有限,並有
階貝蒂數給出。
Hodge 分解
令
為餘微分(codifferential),我們稱形式
是上閉的(co-closed)如果
而稱其為上確切(co-exact)。若對於某個形式
;有
。Hodge分解表明任意
-形式
可以分裂為3個
分量:
精確的定義和分解的證明需要用索伯列夫空間來表述問題。主要的思想就是索伯列夫空間提供了平方可積性和微分形式的柯西列收斂到極限形式的自然設置。這個語言使得我們得以克服緊支撐這樣的限制,就像在Alexander-Spanier上同調中那樣。
德拉姆定理
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