收斂

令

為一個數列，且A為一個固定的實數，如果對於任意給出的b

0,存在一個正整數N，使得對於任意n

N,有|

-A|

b恆成立，就稱數列

收斂於A（極限為A），即數列

為收斂數列。

定義方式與數列收斂類似。柯西收斂準則：關於函數f(x)在點x0處的收斂定義。對於任意實數b

0,存在c

0,對任意x1,x2滿足0

|x₁-x₀|

c,0

|x₂-x₀|

c,有|f(x₁)-f(x₂)|

b。

收斂的定義方式很好的體現了數學分析的精神實質。

如果給定一個定義在區間i上的函數列，u₁(x)， u₂（x） ，u₃（x）......至u_n（x）....... 則由這函數列構成的表達式u₁（x）+u₂（x）+u3（x）+......+u_n（x）+......⑴稱為定義在區間i上的（函數項）無窮級數，簡稱（函數項）級數

對於每一個確定的值X0∈I,函數項級數 ⑴ 成為常數項級數u₁（x0）+u₂（x0）+u₃（x0）+......+u_n（x0）+.... （2） 這個級數可能收斂也可能發散。如果級數（2）發散，就稱點x0是函數項級數（1）的發散點。函數項級數（1）的收斂點的全體稱為他的收斂域 ，發散點的全體稱為他的發散域 對應於收斂域內任意一個數x，函數項級數稱為一收斂的常數項 級數 ，因而有一確定的和s。這樣，在收斂域上 ，函數項級數的和是x的函數S（x），通常稱s（x）為函數項級數的和函數，這函數的定義域就是級數的收斂域，並寫成S（x）=u₁（x）+u₂（x）+u₃（x）+......+u_n（x）+......把函數項級數 ⑴ 的前n項部分和 記作Sn(x)，則在收斂域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)

記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數級數項的餘項 （當然，只有x在收斂域上rn(x）才有意義，並有lim n→∞rn（x)=0）

迭代算法的斂散性

對於任意的X₀∈[a,b],由迭代式X_k+1=φ（X_k）所產生的點列收斂，即其當k→∞時，X_k的極限趨於X*，則稱X_k+1=φ（X_k）在[a，b]上收斂於X*。

2.局部收斂

若存在X*在某鄰域R={X| |X-X*|

δ},對任何的X₀∈R，由X_k+1=φ（X_k）所產生的點列收斂，則稱X_k+1=φ（X_k）在R上收斂於X*。

收斂的基本解釋：收起 。

一般的級數u₁+u₂+...+u_n+...

它的各項為任意級數。

如果級數Σu各項的絕對值所構成的正項級數Σ∣u_n∣收斂，

則稱級數Σu_n絕對收斂

絕對收斂，指的是不論條件如何，窮國比富國收斂更快。

條件收斂，指的是技術給定其他條件一樣的話，人均產出低的國家，相對於人均產出高的國家，有着較高的人均產出增長率，一個國家的經濟在遠離均衡狀態時，比接近均衡狀態時，增長速度快。

一般的級數u₁+u₂+...+u_n+...

它的各項為任意級數。

如果級數Σu各項的絕對值所構成的正項級數Σ∣u_n∣收斂，

則稱級數Σu_n絕對收斂。

如果級數Σu_n收斂，

而Σ∣u_n∣發散，

則稱級數Σu_n條件收斂。