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函數列
鎖定
函數列(sequence of functions)指各項為具有相同定義域的函數的序列。若{fn}為函數列，其中每個函數fn的定義域為A，則A也稱為{fn}的定義域，若對某個x0∈A，數列{fn(x0)}收斂，則x0稱為{fn}的收斂點，或稱{fn}在點x0收斂，{fn}的所有收斂點的集合稱為它的收斂域。若對每個x∈D，有當n→∞時，fn(x)→f(x)，則函數f(x)稱為函數列{fn}(或{fn(x)})在D上的極限函數，這時也説，函數列{fn}在D上處處收斂於f，或在D上逐點收斂於f。對一般的函數列來説，除研究它的逐點收斂(或稱點態收斂)這種收斂方式外，還要研究一致收斂，這是為了研究極限函數是否繼承相應函數列的各項(函數)所具有的分析性質(連續、可微、可積等)而引入的一種收斂方式
[1]
。
- 中文名
- 函數列
- 外文名
- sequence of functions
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 高等數學（數學分析）
- 簡 介
- 各項具有相同定義域的函數的序列
函數列基本概念
設
函數列收斂性
設
，將x0代入函數列(1)得到數列：
若數列(2)收斂，則稱函數列(1)在點x0收斂，x0稱為函數列(1)的收斂點。若數列(2)發散，則稱函數列(1)在點x0發散，若函數列(1)在數集
上每一點都收斂，則稱函數列（1）在數集D上收斂，函數列{fn}全體收斂點的集合，稱為函數列{fn}的收斂域
[2]
。
函數列極限函數
若函數列(1)在數集D上收斂，這時
，都有數列{
}的一個極限值與之對應，由這個對應法則就確定了D上的一個函數，稱它為函數列{fn}的極限函數，記作
，於是有
函數列一致收斂性
函數列一致收斂性的定義
設{fn}與f定義在數集D上，若
，當n>N時，
，都有
則稱函數列{fn}在D上一致收斂於f，記作
函數列一致收斂性的判別
(1)柯西準則：{fn}在D上一致收斂
，當n，m>N時，
，都有
