極限函數

設

是一列定義在同一數集

上的函數，稱為定義在

上的函數列。

設

，以

代入（1）可得數列

若數列（2）收斂，則稱函數列（1）在點

收斂，

稱為函數列（1）的收斂點。若數列（2）發散，則稱函數列（1）在點

發散。若函數列（1）在數集

上每一點都收斂，則稱（1）在數集

上收斂。這時

上每一點

，都有數列

的一個極限值與之相對應，由這個對應法則所確定的

上的函數，稱為（1）的極限函數 ^[1]  。若把此極限記作

，則有

或

函數列極限的

定義是：對每一固定的

，任給正數

，恆存在正數

（注意：一般説來

值的確定與

和

的值都有關，所以也用

表示它們之間的依賴關係），使得當

時，總有

使函數列

收斂的全體收斂點集合，稱為函數列

的收斂域。

例1 設

為定義在

上的函數列，證明它的收斂域是

，且有極限函數

證 任給

（不妨設

），當

，由於

只要取

，當

時，就有

當

和

時，則對任何正整數

，都有

這就證得

在

上收斂，且有（3）式所表示的極限函數。

當

時，則有

，當

時，對應的數列為

它顯然是發散的. 所以函數列

在區間

外都是發散的。

例 2 定義在

上的函數列

。 由於對任何實數

，都有

故對任給的

，只要

，就有

所以函數列

的收斂域為無限區間

，極限函數

。