德拉姆上同調羣

德拉姆上同調羣(de Rham cohomology group)是閉形式空間關於正合形式空間的商空間。設M是微分流形，稱閉p形式的實向量空間關於正合p形式子空間的商空間：

={閉p形式}/{正合p形式}為M的p維德拉姆上同調羣。

這是1930年由喬治·德拉姆給出的，他建立了微分流形的微分結構與拓撲結構的一個重要關係。

設f：M→N是C映射，則有代數同態δf：E*(N)→E*(M)，δf與d可交換，從而誘導出一個同態f*：H_deR(N)→H_deR(M)，且對另一個C映射g：N→X有(g°f)*=f*°g*，(id)*=id。若f：M→N是一個微分同胚，則誘導出的同態f*是同構。這就表明德拉姆上同調羣是微分流形的微分拓撲不變量。可以證明，若M是緊緻流形，則H_deR(M)是有限維的，其維數等於M的第p個貝蒂數b_p。 ^[1] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅瓦在1830年首先提出的。

設M是仿緊豪斯多夫空間，且是拓撲流形，稱A= {(U_α，Ф_α)|α∈P}是它的地圖，如果{U_α|α∈P}是M的開覆蓋，Ф_α是從U_α到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(U_α，Φ_α)稱為座標卡。如果兩個座標卡 (U_α，Ф_α)，(Uβ，Φ_β) 滿足U_α∩U_β≠Φ，則稱Φ_β·Ф_α：Φ_α(U_α∩U_β) →Φ_β(U_α∩U_β) 和Φ_α·Φ_β： Φβ(U_α∩U_β) →Ф_α(U_α∩U_β) 為U_α∩U_β上的座標變換。如果A的所有座標變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的座標卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(U_α，Φ_α) ∈A，座標變換Φ·Φ_αΦ_α·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的座標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當r=∞時，C微分結構也稱為光滑結構，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結構也稱為解析結構，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。

從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(座標變換)粘貼在一起。n維C流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的座標變換粘貼在一起。

兩個C流形M和N，f：M→N是連續映射，且任一點P∈M，有包含P點的M中的座標卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的座標卡(V，φ)，使得f(U)⊂V，同時，映射φ°f°Φ_-1：Φ(U)→φ(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。

C流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，則稱f是C微分同胚。

設K為交換體。稱賦以由下列兩個給定法則所定義的代數結構的集合E為K上的向量空間：

——記為加法的合成法則，

——記為乘法的作用法則，即從K×E到E中的映射，

這兩個法則滿足下列條件：

a)賦以加法的集合E是交換羣；

b) 對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素x，

α(βx)=(αβ)x;

c) 對E的任一向量x，1x=x，其中1表示體K的單位元素;

d)對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素偶(x，y)，

(α+β)x=αx+βx

α(x+y)=αx+αy.

當體K不再假定為交換的時，滿足上述條件的集合E稱為K上的左向量空間.

如果條件：

α(βx)=(αβ)x

換為：α(βx)=(βα)x，

則稱E為K上的右向量空間。在這種情況下，E上的作用法則記為：

例如，設K為交換體，而E為只有一個記為0的元素的集合。E賦以兩個法則：

(0，0)↦0，(α， 0)↦0

則E為K上的向量空間。

設A為非空集合，F為交換體K上的向量空間. 賦予從A到F中的全體映射之集F=ℱ(A，F)以下兩個法則：

——給定從A到F中的映射f與g，映射f+g使A的任一元素x對應元素f(x)+g(x)；

——給定K的元素a和從A到F中映射f，映射αf使A的任一元素x對應F的元素αf(x)。 ^[2] 

則ℱ(A， F)為一向量空間，很自然地稱之為從A到F中的全體映射之向量空間。

當A為自然數集N的區間[1，n]，而F=K時，向量空間ℱ(A，F)就是向量空間Kn。

商空間是一個線性空間模一個子空間所得的線性空間。設V是域P上的線性空間，W是V的子空間，對V中每一元α，定義α+W={α+β|β∈W}，設V-={α+W|α∈V}，利用V的加法及P與V的純量乘法，可以在V-內引入如下的加法及P與V-的純量乘法：

(α+W)+(β+W)=(α+β)+W，

k(α+W)=kα+W (k∈P)。

這樣的定義是完全確定的，而且V-關於這樣定義的運算構成域P上的一個線性空間，稱為V對子空間W的商空間，記為V/W。例如，若V是P上5維線性空間，α₁，α₂，α₃，α₄，α₅是基，W是由α₁，α₂生成的子空間，則V/W是由三個元素α₃+W，α₄+W，α₅+W生成的商空間，而且這三個元素正好是V/W的基。一般地，若dim V/W有限，則稱其為W關於V的餘維數，記為Codim W。 ^[3]