貝蒂數

在代數拓撲學中，拓撲空間之貝蒂數

是一族重要的不變量，取值為非負整數或無窮大。直觀地看，

是連通成分之個數，

是沿着閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的

可藉同調羣定義。

“貝蒂數”一詞首先由龐加萊使用，以意大利數學家恩里科·貝蒂命名。

空間 X的第k個貝蒂數（k為非負整數）定義為 ^[1] 

上式的同調羣可以任意域為係數。

（1）圓環S¹的貝蒂數依次為

。

（2）二維環面的貝蒂數依次為

。

（3）三維環面的貝蒂數依次為

。

（4）一般而言，n維環面的貝蒂數由二項式係數給出，此命題可透過下節敍述的性質證明。

（5）

無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數，例如無窮維復射影空間的貝蒂數依次為

（週期為二）。

閉曲面的第一個貝蒂數描述了曲面上的“洞”數。環面之

；一般而言，閉曲面的

等於“洞”或“把手”個數之兩倍。可定向緊閉曲面可由其

完全分類。

有限單純復形或CW復形的貝蒂數有限。當 k 大於復形維度時，

。

對於有限 CW 復形，定義其龐加萊多項式為貝蒂數的生成函數

對於任意 X,Y，有

對於n-維可定向閉流形X，龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性

在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間 X通常是閉流形，此時拓撲不變量

可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之，考慮復形 ^[2] 

其中

表k次微分形式構成的向量空間，d為外微分。則

這是德拉姆上同調理論的簡單推論。

德拉姆上同調的不便之處，在於它考慮的是微分形式的等價類，其間可差一個

之元素。設流形X具有黎曼度量，則可以定義微分形式的“長度”。我們若嘗試以變分法在等價類中找最短元素，透過形式計算可知存在唯一最短元素

，且為調和形式：

，在此拉普拉斯算子依賴於流形的度量，在局部座標系下可表為橢圓偏微分算子。這套想法催生的霍奇理論在復幾何中扮演關鍵角色。