單純復形

數學中，單純復形是由三角形組成的一種幾何圖形。通過把一般的圖形和這些較簡單的圖形按規定方式對應起來，可以簡化一般圖形的拓撲（定性的）研究。這些基本的三角形稱為二維單純復形，簡稱二維單形，更高維的單純復形也可以用三角形的高維類似物（即通常所説的N維單形；三維單形是四面體）構成。

這些三角形必須用一定的方式，即或者不相交，或者相交部分是其公共面。用代數方法研究給定復形的定點、邊界與三角形之間的關係，可以得到刻畫這些三角形在復形中的拓撲排列的代數結構，從而也就刻畫了這個復形所賴以構成的原來圖形的拓補。

單純復形亦稱幾何單純復形。單純同調論中的一個基本概念。用單形構造的並且按一定規則組成的圖形。它是定義一類拓撲空間的工具。設K是n維歐氏空間R中單形的有限集合，稱K為單純復形，簡稱復形，若它滿足：

1.若是K中的單形，則的任意麪都屬於K。

2.若s和s為K中任意兩個單形，則s∩s或者是空集，或者是s與s的一個公共面.。

K中單形維數的最大值稱為復形K的維數，記為dim K。這裏定義的復形是由有限個單形構成的有限復形，根據需要還可推廣定義無窮復形。若K是一個復形，則K的全體維數不大於r的單形組成一個復形，稱為K的r維骨架，記為K.K即是K的頂點集合。若是一個q維單形，則它的全體面組成一個q維復形，稱為單形的閉包復形，記為cl；而的全體真面組成一個q-1維復形，稱為的邊緣復形，記為Bd。 ^[2] 

設有R中q+1個點集A={a₀，a₁，…，a_q}，若向量組{a₁-a₀，a₂-a₀，…，a_q-a₀}線性無關，稱A為幾何無關點組或A中點是幾何獨立的，設{a₀，a₁，…，a_p}是R中p+1個幾何獨立的點，點集{xa₁，…，a_p為頂點的p維單形，記為(a₀，a₁，…，a_p)，λ₀，…，λ_p稱為x關於頂點a₀，…，a_p的重心座標，p維單形也簡記為σ或σ，p為σ的維數，記為dimσ，關於座標的點稱為該單形的重心。至少有一個重心座標為0的點稱為該單形的邊緣點，全體邊緣點構成單形的邊緣，記為σ。以{a₀，a₁，…，a_p}的任一子集為頂點做成的單形稱為原單形的面。零維面是頂點，一維面也稱為稜，真子集做成的面也叫真面。零維單形是一個點，一維單形是一線段，二維單形是一三角形，三維單形是一四面體。

設K是R中單形的有限集合，滿足：(1)若σ是K中單形，則σ的任何面都是K中單形。(2)若σ₁與σ₂是K中單形，則σ₁∩σ₂或為空集，或為σ₁與σ₂的公共面，則稱K為單純復形，簡稱復形。K中單形維數的最大值稱為復形K的維數，即：

復形的零維單形稱為頂點；若L⊂K，且L亦為復形，稱L為K的子復形;K是p維復形，復形K′={σ|σ∈k，dimσ≤r}稱為K的r維骨架。K在R中，作為Rn的子空間，記成|K|，稱為K的伴隨多面體，簡稱多面體，K稱為|K|的(單純)剖分或三角剖分。若L是K的子復形，則(K，L)與(|K|，|L|)分別稱為單純復形偶與多面體偶。

設X是拓撲空間，若存在復形K與同胚f： |K|→X，則復形K與同胚f所成偶(K，f)稱為空間X的一個單純剖分或三角剖分，簡稱K是X的單純剖分，相應地X稱為可剖分空間。維數不大於3的流形或任何微分流形是可剖分的。常見空間的剖分為：(1)對n維球面S同胚，n+1維單形σ的邊緣做成的復形即為Sn的剖分。(2)對莫比烏斯帶的剖分(如圖1)：(3)環面T₂=S×S的剖分(如圖2)。(4)克萊因瓶(如 圖3)。(5)把正六邊形邊界上關於中心對稱的點迭合起來可得射影平面P，其剖分(如圖4)。若將上圖六邊形同胚地看成圓盤，就是通常見到的關於射影平面的剖分。

任何單形是歐氏空間的緊子集，則可剖分空間為可度量化的局部道路連通空間。若L是K的子復形，則|L|是|K|的閉子空間。若K不是兩個非空不相交的子復形之並，稱復形K是連通的。設L是K的最大連通子復形，稱L是K的一個連通分支。對連通性，下述幾條等價： (1)K連通。(2)K的一維骨架K1連通。(3) |K|連通。(4) |K|道路連通。任何復形K是有限個互不相交的連通分支K₁，…，K_r的並，則|K|是連通(道路連通) 分支|K₁|，…，|K_r|的並。

設σ=(a₀，a₁，…，a_p) 是p維單形(p>0)，σ的頂點排列順序a_i0，…，a_ip與a_j0，…，a_jp若相差偶數個對換，則稱為等價的，按這種等價將排列方式分為兩類，每個等價類稱為單形σ的一個定向。每一單形有兩個定向，稱為互相相反的定向，單形和它的一個定向一起稱為有向單形，以頂點順序a₀，a₁，…，a_p決定的有向單形記為_0，…，ap>，而它的相反定向的單形記為-σ或-σ，顯然—_0，a1，…，a_p>由頂點順序a₁，a₀，a₂，a₃，…，a_p決定其定向，對零維單形a也認為有兩個定向a與-a。設K是單純復形，若K中任一單形都指定了一個定向，稱復形K是定向的，它的全體有向單形稱為K的有向單形基本組。 ^[3]