可剖分空間

可剖分空間(Ctriangulated space)亦稱彎曲多面體。是一類拓撲空間。為了使復形的研究結果適用於更廣範圍的拓撲空間，如球面、環面等，可做如下推廣：設X是拓撲空間，若存在單純復形K與同胚映射f：|K|→X，則稱X為可剖分空間，(K，f)或K稱為X的一個剖分或單純剖分。為了和多面體|K|加以區別，X稱為彎曲多面體，K中單形的同胚像稱為彎曲單形，全體彎曲單形的集合稱為彎曲復形。 ^[2] 

拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裏斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲羣的積分及其應用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。

一般拓撲學的基本研究對象。確定了拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。具有拓撲結構的抽象空間是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1906年和里斯(Riesz，F.(F.))於1907年首先引進的.弗雷歇用收斂序列，里斯用聚點分別定義了他們的空間。但里斯的定義過於一般且比較複雜，弗雷歇的定義過於狹窄.第一個令人滿意的拓撲空間的定義是豪斯多夫(Hausdorff，F.)於1914年用鄰域系提出的。他的定義發展了希爾伯特(Hilbert，D.)於1902年和外爾(Weyl，(C.H.)H.)於1913年的思想。希爾伯特和外爾用鄰域分別給出平面和黎曼曲面的一種公理描述。而豪斯多夫將他們引進的概念給出適當的一般化，並發展成有系統且詳盡的一般理論，從而奠定了一般拓撲學這一學科。稍後，穆爾(Moore，R.L.)於1916年用開集系，庫拉托夫斯基(Kuratowski，K.)於1922年用閉包算子分別提出另一種公理系統，它們都是等價的。還可用閉集系、內部算子、收斂類等各種不同公理系統刻畫拓撲空間。目前較常用的是開集系、鄰域系或閉包算子等公理系統建立拓撲空間。 ^[3] 

單形是點、線段、三角形和四面體的高維推廣。它是構成多面體的“磚塊”。設a₀，a₁，a₂，…，a_q是n維歐氏空間

中幾何無關點組，

中點集：

稱為以a₀，a₁，…，a_q為頂點的q維單純形，簡稱q維單形，記為sq=(a₀，a₁，a₂，…，a_q)，有序數組(λ₀，λ₁，…，λ_q)稱為點x在q維單形中的重心座標，記為x=(λ₀，λ₁，…，λ_q)。設=(a₀，a₁，…，a_q)是q維單形，重心座標為：

的點s稱為單形的重心。1維單形的重心是線段的中點，2維單形的重心是三角形的三條中線的交點。若單形sq=(a₀，a₁，…，a_q)R，{i₀，i₁，…，i_r}{0，1，2，…，q}，則a_i0，a_i1，…，a_ir是幾何無關點組。從而R中有r維單形，sq=(a_i0，a_i1，a_i2，…，a_ir)，sr稱為單形sq的一個r維面，記為sr≤sq。當r<q時，稱為的真面，1維面也稱為稜。設sq為n維歐氏空間R中的q維單形，sq中重心座標全為正數的點稱為單形sq的內點，至少有一個重心座標為零的點稱為單形的邊緣點。q維單形sq的全體內點的集合稱為一個q維開單形，或稱為單形sq的內部，記為int sq。

同胚是拓撲空間之間的一種變換。若f是拓撲空間(X，T)到(Y，U)的單滿映射，並且f與f都是連續的，則稱f為同胚映射或拓撲變換。存在同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的或拓撲等價的。同胚關係是等價關係。抽象空間的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1910年開始研究的。在狹窄的意義下同胚的概念早已被龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)引入。

設E與F為兩個拓撲空間。稱從E到F上的雙射為從E到F上的同胚，如果這一映射能建立一個從E之全體開集的集合到F之全體開集的集合上的雙射。

為使從E到F上的雙射是同胚，其充分必要條件是： 這個雙射是雙連續的。

從一緊空間到另一緊空間上的任一連續雙射是同胚。

設I為R的區間。稱I的任一有限子集S為I的剖分。當S非空時，存在I的唯一的嚴格遞增的點列(c0，c1，…，cn)，使S是由點c0，c1，…，cn構成的。經常將S與(c₀，c1，…，cn)等同起來。

在I為緊區間[a，b]，c0=a，而cn=b的情形下，稱數ci+1-ci中的最大者為S的步長，其中i取遍[0，n-1]。