對偶性

對偶性即導致相同的物理結果，而表面上不同的理論之間的對應。

一個函數x(t)和它的傅里葉變換X(jw)之間的關係可以用下面的兩個公式表示

和

對比一下兩個式子可見二者在形式上很相似，但不完全一樣，這一對稱性就體現了傅里葉變換的對偶性。用一個比較明顯的例子來進行説明，下面圖1和圖2中所示的兩對傅里葉變換

和

由這兩個例子所呈現出的對稱性可以推廣到一般的傅里葉變換中去。明確一點説就是，對於任何傅里葉變換對來説，在時間和頻率變量交換之後都有這種對偶關係 ^[1]  。

對偶性也能用來確定或聯想到傅里葉變換的其他性質。具體來説就是，如果一個時間函數有某些特性，而這些特性在其傅里葉變換中隱含這一些別的什麼東西的話，那麼與頻率函數有關的同一性質也會在時域中隱含着對偶的東西。例如，時域中微分對應於在頻域內乘以jw，於是由前面的結論，可以想到在時域中乘以jt，會對應於頻域的微分。為了確定這一對偶性質的確切形式，對

兩邊進行微分得到

即

每一個規劃問題都存在一個與它相關的對偶問題。原問題中的約束條件的個數等於對偶問題的變量的個數；原問題中變量的個數等於對偶問題中約束條件的個數。互為對偶的問題，若一個問題存在最優值，則另一個問題也存在最優值，且兩個問題的目標函數最優值相等 ^[2]  。

線性規劃問題中的三種對偶關係：

對偶性在物理學中很多體現，如電與磁、電容與電感、開路與短路、電壓源與電流源、串聯與並聯等等 ^[3]  。

利潤最大化和成本最小化對偶，兩者是相互對應的。利潤的最大化也就是成本的最小化，成本函數與生產函數之間也存在密切的對應關係 ^[4]  。