撓羣

撓羣(torsion group)亦稱週期羣。一種常見的重要羣類。若羣G的所有元素的階都是有限的，則稱G為撓羣；反之，若G的所有非平凡元素的階都是無限的，則稱G為無扭羣。存在既不是撓羣，也不是無扭羣的羣，即既包含非平凡的有限階元素，又包含無限階元素的羣，稱為混合羣。若羣G的一切有限階元素組成羣G的子羣T，T是G的最大的週期子羣，稱為G的最大週期子羣。T是G的特徵子羣，且G/T是無扭羣。羣的最大週期子羣一般未必存在，但任意阿貝爾羣恆有最大週期子羣存在。 ^[2] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

羣的特殊的非空子集。羣G的非空子集H，若對G的乘法也成為羣，則稱H為G的子羣，記為H≤G。若子羣H≠G，則稱H為G的真子羣，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元羣G至少有兩個子羣，G自身以及由單位元e作成的單位元羣{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子羣。不是平凡子羣的子羣稱為非平凡子羣。羣G的非空子集H為G的子羣的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H_i|i∈I}是G的子羣的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子羣。

亦稱交換羣。一種重要的羣類。對於羣G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba.若羣G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾羣。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換羣，所以通常稱這類羣為阿貝爾羣。交換羣的運算常用加法來表示，此時羣的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元)。用加法表示的交換羣稱為加法羣或加羣。 ^[3] 

羣是現代數學中最重要的具有概括性 的概念之一，有關羣的性質及其結構的理論稱為羣論。

1831年，年僅20歲的青年數學家伽羅華得到n次方根可否通過對係數施行四則和開方運算來求解的判據，一舉解決了五次以上代數方程求解的千古難題。這個問題得以解決，取決於他對置換羣性質所作的深入討論，羣的概念就在這時產生了。 研究代數方程的性質與羣的性質之間的關係已成為一門大理論伽羅華理論所研 究的對象，伽羅華理論在羣論的發展中起 作決定性的作用。40年後克萊因的變換羣導致幾何觀的一次革命；索福斯·李研究微分方程，開創李羣論，更深刻影響着數學物理的發展。在數學物理的對稱現象的研究中，對稱的概念看來是明顯的，但對對稱概念的精確和一般的描述，特別是對稱性質量上的計算，卻要用羣論這個工具才行。19世紀到20世紀，在幾何、晶體等物理、化學中，都弄清了對稱規律的重要意義，因此羣論的方法和結果得以廣泛使 用。1890年，費道洛夫用羣論闡明晶體結構的幾何形態，特別是20世紀30年代， 書爾、維格納等人把羣論應用於量子力學取得成功，導致了原子、分子結構的重要 發現。羣論已經是量子物理和量子化學常用的工具了，這更使羣論走出了純數 學專業的數學王國，活躍於更廣闊的科學地。今天，羣的概念已普遍被認為是數學及其許多應用中最基本的概念之一，它不但滲透到像幾何學、代數拓撲學、函數論、 泛函分析及其他許多數學分支中而着重要的作用，還形成了一些新學科，如拓撲羣、李羣、代數羣、算術羣等。它們還具有與 羣結構相聯繫的其他結構，如拓撲、解析 流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、量子化學以至編碼學、自動機理論等方面 都有重要應用。作為推廣 “羣” 的概念的 產物，羣論及其在計算機科學中的應用，也有很大的發展。

羣的概念中有兩個方面： 一是指出它 的元素是哪些事物，二是元素間運算的規則，可分別用它們來研究羣。研究羣的元素和元素集合的各種性質，以及它們同羣的運算性質之間的聯繫，這常常是研究各種具體的羣，如交換羣、置換羣、運動羣、 拓撲羣等；也可研究完全由羣的運算性質表示出來的特性，它屬於抽象羣論或一般羣論。下面是一些抽象羣論的概念： 同構， 一個羣的元素與另一個羣的元素對應，運算結果也是對應的，稱兩個羣同構; 一個 羣所含元素的個數稱為羣的階，羣G的階 記為|G| ，|G|有限時為有限羣，無限時為無限羣；同構中兩個羣中的元素是一一對應的，若存在多對一的對應則稱為同 態。 ^[4]