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有理數
鎖定
整數也可看作是分母是1的分數。不是有理數的實數稱為無理數,即無理數的小數部分是無限不循環的數。是“數與代數”領域中的重要內容之一,在現實生活中有廣泛的應用,是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角座標系、函數、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。
有理數集可以用大寫黑正體符號Q代表。但Q並不表示有理數,有理數集與有理數是兩個不同的概念。有理數集是元素為全體有理數的集合,而有理數則為有理數集中的所有元素。
- 中文名
- 有理數
- 外文名
- rational number
- 定 義
- 整數和分數的統稱
- 提出時間
- 約公元前580年至公元前500年間
- 所屬範圍
- 實數
- 應用學科
- 數學
- 分 類
- 整數和分數
有理數命名由來
“有理數”這一名稱不免叫人費解,有理數並不比別的數更“有道理”。事實上,這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來,在英語中是rational number,而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了“有理數”。但是,這個詞來源於古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思(這裏的詞根是英語中的,希臘語意義與之相同)。所以這個詞的意義也很顯豁,就是整數的“比”。與之相對,“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數,而並非沒有道理。
[1]
有理數有理數的認識
有理數為整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱
[2]
。正整數和正分數合稱為正有理數,負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。由於任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數,反之,每一個十進制循環小數也能化為整數或分數,因此,有理數也可以定義為十進制循環小數。
有理數a,b的大小順序的規定:如果a-b是正有理數,則稱當a大於b或b小於a,記作a>b或b<a。任何兩個不相等的有理數都可以比較大小。
有理數集與整數集的一個重要區別是,有理數集是稠密的,而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定後,任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數,這就是稠密性。整數集沒有這一特性,兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。
有理數是實數的緊密子集:每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是,僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列,有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的(稠密)子集,因此它同時具有一個子空間拓撲。
[1]
有理數有理數的分類
有理數的分類按不同的標準有按定義分類、按符號進行分類兩種;按定義分類有理數分為整數、分數;按符號進行分類有理數分為正有理數、0、負有理數。
[2]
[3]
小數可以化為分數,所以把小數看成分數。
[3]
有理數基本運算法則
有理數加法運算
1、同號兩數相加,取與加數相同的符號,並把絕對值相加。
3、互為相反數的兩數相加得0。
4、一個數同0相加仍得這個數。
5、互為相反數的兩個數,可以先相加。
6、符號相同的數可以先相加。
7、分母相同的數可以先相加。
有理數減法運算
有理數乘法運算
1、同號得正,異號得負,並把絕對值相乘。
2、任何數與0相乘,都得0。
3、幾個不等於0的數相乘,積的符號由負因數的個數決定,當負因數有奇數個時,積為負,當負因數有偶數個時,積為正。
4、幾個數相乘,有一個因數為0,積就為0。
有理數除法運算
1、除以一個不等於零的數,等於乘這個數的倒數。
2、兩數相除,同號得正,異號得負,並把絕對值相除。0除以任意一個不等於0的數,都得0。
注意:
0不能做除數和分母。
有理數的除法與乘法是互逆運算。
有理數乘方運算
1、負數的奇數次冪是負數,負數的偶數次冪是正數。例如:(-2)³(-2的3次方)=-8,(-2)²(-2的2次方)=4。
2、正數的任何次冪都是正數,0的任何正數次冪都是0。例如:22=4,23=8,03=0。
3、0的0次冪無意義。
4、由於乘方是乘法的特例,因此有理數的乘方運算可以用有理數的乘法運算完成。
有理數有理數運算定律
加法運算律:
1、加法交換律:兩個數相加,交換加數的位置,和不變,即 。
2、加法結合律:三個數相加,先把前兩個數相加或者先把後兩個數相加,和不變,即 。
減法運算律:減去一個數,等於加上這個數的相反數。即:
。
乘法運算律:
1、乘法交換律:兩個數相乘,交換因數的位置,積不變,即 。
2、乘法結合律:三個數相乘,先把前兩個數先乘,或者先把後兩個相乘,積不變,即 。
3、乘法分配律:某個數與兩個數的和相乘等於把這個數分別與這兩個數相乘,再把積相加,即:
有理數混合運算法則
有理數的加、減、乘、除混合運算,如無括號指出先做什麼運算,按照“先乘除,後加減”的順序進行,如果是同級運算,則按照從左到右的順序依次計算。
有理數相關問題
有理數除以零的謬誤
- 由:0a=0,0b=0,得出0a=0b。
- 兩邊除以零,得出0a/0=0b/0。
- 化簡,得:a=b。
有理數代數處理
有理數整數
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