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一元三次方程
鎖定
一元三次方程（英文：cubic equation with one unknown）是隻含有1個未知數（即“元”），並且未知數的最高次數為3次的整式方程。一元三次方程的標準形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d為常數，x為未知數，且a≠0）。一元三次方程的公式解法為卡爾丹公式法。
- 中文名
- 一元三次方程
- 外文名
- cubic equation with one unknown
- 類 型
- 整式方程/多項式方程
- 標準形式
- ax³+bx²+cx+d=0（a≠0）
目錄
- 1 配方法
- ▪ 配方法與換元法的等價性
- ▪ 可用配方法直接求解的三次方程
- ▪ 不能用配方法直接求解的三次方程
- 2 解只含有一次項的三次方程
- ▪ 韋達代換法
- ▪ 推導過程中產生的增根
- ▪ 判別式
- 6 有三個實根的三次方程
- 7 求根公式的檢驗
- 8 Excel求解三次方程
- 9 未知數與常數互易法
一元三次方程配方法
眾所周知，對於任意一個n次多項式，我們總可以只借助最高次項和（n-1）次項，根據二項式定理，湊出完全n次方項，其結果除了完全n次方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項、二次項、三次項等，直到（n-2）次項。由於二次以上的多項式，在配n次方之後，並不能總保證在完全n次方項之後僅有常數項。於是，對於二次以上的多項式方程，我們無法簡單地像一元二次方程那樣，只需配出關於x的完全平方式，然後將後面僅剩的常數項移到等號另一側，再開平方，就可以推出通用的求根公式。
特別地，對於三次多項式，配立方，其結果除了完全立方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項。一個自然的想法就是利用配方法將一般的三次方程化為不帶二次項的三次方程。
一元三次方程配方法與換元法的等價性
在一元二次方程中，用x=y-b/2a換元能消去方程中的一次項，只剩下二次項和常數項，所以配方法能解所有的一元二次方程。
但在一元三次方程中，用x=y-b/3a換元不一定能同時消去二次項和一次項，只留下三次項和常數項，所以配方法只能直接求解一部分一元三次方程。
一元三次方程可用配方法直接求解的三次方程
滿足下面形式的方程可以直接通過配立方來求解
兩邊除以a，把常數項
移到右邊，然後再在兩邊加上
，可以配成
，
方程的解為
。
開立方可以開出三個根出來，所以x也有三個解。
這類方程用x=y-b/3a換元，可同時消去二次項和一次項，即
一元三次方程不能用配方法直接求解的三次方程
對於不能用配方法直接求解的一元三次方程，配方法只能消去方程的二次項。配方是根據三次項係數和二次項係數來配的。
即
右邊的
可以表示成
於是
這和二次方程很不一樣。二次方程配方後只有左邊有x，可以兩邊開平方求解。三次方程配方後，方程的兩邊都有x，所以無法直接開立方求解，我們必須要尋找新方法解出x+2的值才行（這個所謂的新方法就是卡丹公式法）。
令
（即
，其實就是
）
於是得到了消去二次項的方程
即
接下來就可以利用卡丹公式來求解這個新方程。這個方程和
換元法得到的方程是一樣的。
通過卡丹公式求出3個y值後，我們就得到了x+2的值：
，
和
（由於△小於0，求解過程中需要用到虛數，但最終計算出來是3個實數）
這樣，原方程的解x就求出來了：
一元三次方程解只含有一次項的三次方程
含有二次項但不含有一次項的一元三次方程，經過代換後可以消掉二次項，但是卻會冒出一次項出來。對於方程
，代換後得到的是
。因為b≠0 ，所以一定會有一次項冒出來。
解方程：
首先，我們令x=u+v，其中u和v是任取的，把這個式子代入方程，我們得到
展開(u+v)³ ，得
提取3u²v+3uv² 的公因式3uv ，得
合併同類項，得
由於u和v可以任取，只要滿足u+v=x就行。如果我們取3uv+6=0，那麼就可以將式子化簡為u³+v³-20=0，於是得到方程組
即
這個方程組有沒有解呢？
如果我們令M=u³,N=v³，再把uv=-2的兩邊立方得到u³v³=-8即MN=-8，我們就得到了方程組
顯然，這是一個二元二次方程組（因為單項式MN是二次單項式），肯定是能解的。
M+N=20移項後得到N=20-M，代入MN=-8，得到M(20-M)=-8，化簡後就是一個一元二次方程
其中一個解為
所以
這樣我們就求出了u和v
u和v相加後，就得到了三次方程的解x
上面
是猜出來的，就像我們可以直接猜出
，但是像
這樣的根式就猜不出來，並且也不是所有的三次重根式都可以化簡為二次根式跟一個數的和，所以我們就不要想着去化簡一個三次重根式了。根據羣論的知識，一元三次方程的求根公式必然存在兩次開方，四次方程的求根公式必然存在三次開方。從另一個角度來説，開平方和開立方都是可以像加減乘除那樣筆算的，我們應該把開方視為像加減乘除那樣的普通運算，而不是一個不可拆的符號。之前是有人發明了除號÷，發現寫在算式裏面還好，但是寫在代數式裏面是很難看的，後來就改成了在代數式中用分數線表示除法。於是後面的人就吸取教訓了，不再為開方發明一個單獨的二元運算符了，直接用帶一個勾勾的線來表示開方，同樣乘方也沒有發明專門的二元符號，直接在右上角標出來就行，在代數式裏面一目瞭然。所以乘方和開方就成了所謂的代數運算了，而加減乘除屬於算術運算。
用筆算開平方的方法算出108開平方後大約是10.392，然後10加根號108是20.392，10減根號108是-0.392，再筆算開立方算到小數點後兩位，分別得到2.73和-0.73，相加之後就得到了x=2。筆算時計算的小數數位越多，得到的x值就越精確。如果我們算出來的小數位數足夠多的話，最後開立方出來是2.7320508……和-0.7320508……，小數部分和根號3是一模一樣的，我們很容易看出來這就是1加根號3、1減根號3。後者
就是
，約等於-(1.732-1)也就是-0.732，小數部分和根號三也是一樣的。
雖然中學階段只學了二次根式的化簡，沒有學筆算開方，但是我們要知道開根號是可以筆算的，開方也可以視為一個像加減乘除那樣的普通運算。而不是一看到開根號就很害怕，就想着怎麼去化簡。事實上，三次重根式是很複雜的，要想化簡是非常困難的。只要學會了列豎式筆算開平方和開立方，我們就能在沒有計算器的情況下，利用三次方程的求根公式，筆算出任何一個三次方程的解。（筆算除法時有一個説法叫試商，筆算開方的時候也有一個類似的説法——試根）
四次方程的求根公式裏面只有平方根和立方根，沒有四次方根，所以通過筆算開平方和開立方，也能直接筆算出四次方程的解。四次方程求根公式裏面包含的三重根式更加複雜，就更不要想着去化簡了，老老實實筆算出來吧。
在這個例子中，u和v都是無理數，兩個無理數相加後得到有理數x=2。雖然實際的解是一個有理數，可以精確表示，但是無理數很難精確表示，手工相加後的結果也不精確，於是我們只能得到近似的解。對於這種兩個無理數相加得到有理數的情況，只有想辦法提高無理數的計算精度，使求出的非精確解儘可能接近實際的解。
一元三次方程三次重根式的化簡
在已知
的情況下，可以利用一元二次方程將
化簡為
的形式。
例如，在解三次方程
的過程中，我們會遇到下面這個式子
強行開平方、開立方後計算出來，這個式子的值大約為5。
+8.92261628933256451005844923882
-3.92261628933256451005844923882
通過平方差公式，可以求出這兩個三次重根式的乘積
這可以組成一個二元二次方程組
其中u和v是待化簡的三次重根式
用代入消元法消去v，得到關於u的一元二次方程
（當然，也可以直接根據韋達定理寫出這個方程）
u和v就是方程的兩根，解得
所以化簡的結果為
三次方程的解可以表示為
一元三次方程求根公式
一元三次方程特殊的一元三次方程
一元三次方程都可化為
。它的解是：
其中
。
根與係數的關係為
。
其中
。
一元三次方程一般的一元三次方程
一般的一元三次方程的形式為
其中a≠0，這個方程的根為
其中
三個根與係數的關係為
判別式為
標準型方程中卡爾丹公式的一個實根
當△=0時，有三個實根。若p=q=0，三個實根都相等；否則三個實根中有兩個相等。
當△小於0時，有三個不相等的實根。
一元三次方程求根公式的推導
下面討論求解缺二次項的三次方程x³+px+q=0的一般方法。
[1]
一元三次方程卡爾丹諾法
卡爾丹諾法的基本思想是：將x分解為u和v的和（即x=u+v），使一元方程先變為二元方程。然後再添加一個關於u和v的方程，形成二元方程組。這個方程組經過消元后會變成一元二次方程，解這個方程可求出u和v，u和v相加便得到了x。
首先，令x=u+v，代入方程，得到
(u+v)³+p(u+v)+q=0
展開立方項，得
u³+v³+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0
u³+v³+(3uv+p)(u+v)+q=0
方程有兩個未知數，卻只有一個方程，沒有辦法解。需要添加一個方程，形成方程組之後才能解。
我們可以添加下面這個方程
3uv+p=0
添加這個方程後，就會使原來方程中的(3uv+p)(u+v)這一項變為0，從而變得更加簡單，並形成方程組
第二個方程兩邊立方，得到
注意，這一步會產生6個增根，變成總共9個根。這6個增根不是原三次方程的根，原方程只有3個根。
x1, x2, x3為原方程的三個根。本來x1=u1+v1，x2=u2+v2，x3=u3+v3。u1和v1相乘等於-p/3，u1和v2相乘不等於-p/3。但是兩邊立方之後，u1的立方乘上v2的立方卻等於-p³/27。也就是説u1+v2是一個增根，不是原三次方程的根。
產生的6個增根為：u1+v2、u1+v3、u2+v1、u2+v3、u3+v1和u3+v2。這六個增根不滿足uv=-p/3，但是滿足u³v³=-p³/27。
接下來，我們記M=u³，N=v³，方程組變為
（也可以根據韋達定理直接寫出對應的一元二次方程）
用一元二次方程的求根公式求解這個方程，得到
於是
一元三次方程韋達代換法
在上面的推導過程中，新添加的方程是3uv+p=0，即u和v之間的關係是v=-p/3u，所以x=u+v=u-p/3u。我們只需要令x=u-p/3u就可以將缺二次項的一元三次方程降次為一元二次方程，這個代換叫做韋達代換。
代換後得到的方程為
兩邊同乘u³，得
令M=u³，這個方程和之前卡丹公式法的二次方程是一模一樣的，只是符號剛好相反。
由於沒有v的存在，最終得到的求根公式稍微有些複雜
但實際上，根據平方差公式
所以
由韋達代換得到的公式和卡丹公式是等價的。
一元三次方程推導過程中產生的增根
任何正實數都有兩個平方根，一個為正，另一個為負，正的稱為算術平方根。例如4的平方根是2和-2，其中2是算術平方根。我們將算術平方根的概念推廣到複數，-9的平方根為3i和-3i，其中3i是算術平方根。對於3+4i這個數，模長為5，輻角約為53.13°，兩個平方根為2+i和-2-i，模長都是√5，輻角大約為26.565°和-153.435°。由於2+i的輻角是3+4i輻角的一半，所以2+i是3+4i的算術平方根。
在求根公式中有兩個三次根號，每個三次根號都能開出三個立方根，總共組合起來有9個根。但實際上，9個根裏面只有3個根是原三次方程的根。其餘6個根都是增根，不是原三次方程的根。上面的推導過程中已經提到，這6個增根是在uv=-p/3兩邊立方變為u³v³=-p³/27的過程中產生的。
我們先看1有哪些立方根。求1的立方根，其實就是求方程x³-1=0的三根。方程可根據立方差公式，因式分解為(x-1)(x²+x+1)=0，得到x1=1，x2,3=(-1±√3i)/2，通常將x2=(-1+√3i)/2記為ω。於是1的三個立方根可記為x1=ωº=1，x2=ω¹，x3=ω²，其中x1=1是1的算術立方根：³√1=1。
類似數a的全部平方根為±√a的表示方法，數a的全部立方根可表示為
。
模長為a，輻角為b的複數可記為a∠b，輻角的範圍為-180°b小於或等於180°。a∠b=a(cosb+i·sinb)。
根據複數的乘法法則，a∠b×c∠d=ac∠(b+d)，即模長相乘，輻角相加。於是(a∠b)³=a³∠3b。一個複數求立方根，就是模長開立方，輻角除以3。ω為∠120°，ω²=∠240°=∠(240°-360°)=∠-120°。所以a∠b的三個立方根為³√a∠(b/3)和³√a∠(b/3±120°)。
為了防止三次方程的求根公式求出增根，我們規定求根公式中的三次根號求的是算術立方根，並在複數範圍內對數a的算術立方根作如下規定：
(1) 若a是實數，則a的算術立方根為實數。
(2) 若a是虛數，且輻角為b，則a的算術立方根為輻角為b/3的虛數。
規則(1)非常重要。如果只有規則(2)沒有規則(1)，那麼-8的算術立方根就不是-2，而是輻角為60°的2∠60°=1+√3i，求根公式就有可能求出增根。
例如，-8的立方根有-2，1+√3i和1-√3i。其中-2是算術立方根。
64的立方根有4，-2+2√3i和-2-2√3i。其中4是算術立方根。
16+88i（輻角約為79.7°）的算術立方根是4+2i（輻角約為26.565°），另外兩個立方根是(-√3-2)+(2√3-1)i和(√3-2)+(-2√3-1)i，輻角約為146.566°和-93.436°。
這樣規定後，三次方程的三個根為x1=ωºu+ωºv=u+v，x2=ω¹u+ω²v，x3=ω²u+ω¹v，其他的比如ω¹u+ω¹v都是增根。這是因為，ω¹u·ω¹v=ω²uv≠-p/3，而ω¹u·ω²v=ω³uv=uv=-p/3。其中u是M的算術立方根，v是N的算術立方根。這個增根滿足(ω¹u)³(ω¹v)³=ω³u³·ω³v³=u³v³=-p³/27。
一元三次方程判別式
二次根號下的式子就是一元三次方程的判別式
x3=ω²u+ωv，其實就是把x2裏面的u和v換了下位置，u+v和v+u相等，u-v和v-u互為相反數，即u-v=-(v-u)
所以，x2和x3可表示為
當△大於0時，△開平方後是正數，u和v是不相等的實數，於是x1是實數。由於u-v≠0，所以x2和x3為共軛虛數。
當△=0時，△開平方為0，u和v相等，u-v=0，於是三個根都是實數。x1=2u；x2和x3相等，都等於-u。特別地，當q=0時（因△=0此時p也等於0），u=0，為三重零根。
當△小於0時，△開平方為純虛數，M和N為共軛虛數。共軛虛數的輻角互為相反數，開n次方後輻角除以n，仍然為相反數，所以共軛虛數開任意次方結果仍是共軛虛數。因此M和N開立方後的u和v也是共軛虛數，且u≠v。根據共軛虛數的性質，共軛虛數的和為實數（即(a+bi)+(a-bi)=2a），所以x1為實數。共軛虛數的差為純虛數（即(a+bi)-(a-bi)=2bi），而純虛數與i相乘一定為實數，因此(u-v)i為實數，x2和x3都是實數，方程有三個不相等的實根。
請注意，這裏一定要區分複數和虛數這兩個概念，複數是實數和虛數的統稱。所以，像0、1、2這樣的自然數也是複數，3.8、-5.4這種小數也是複數。而虛數是虛部不為0的數，特指3+4i，-5-3i這類帶i的數。
一元三次方程有三個實根的三次方程
比如，解方程：x³+3x²-12x-18=0。其中a=1, b=3, c=-12, d=-18。
先算出p和q：
p=(3ac-b²)/3a²=-15，q=(27a²d-9abc+2b³)/27a³=-4
所以
-121開平方後是11i，接下來需要對2+11i和2-11i開立方。
所以
開立方後是
實際上，
的精確值是
。所以
由於
，所以方程的另外兩個根也是實數。
根據前面提到的公式
其中
得到另外兩個根
從中可以發現，雖然三個根都是實數根，但是求解過程中卻遇到了虛數。虛數經過運算後，最終結果為實數。這個三次方程的根比較簡單，求解過程中遇到的三次重根式可以化簡。但是，絕大多數三次方程的根都是無理數，其三次重根式無法化簡，那麼這時就必須要用虛數才能用根號精確表示這些複雜的無理實根，即：用帶虛數的根式來表示一個實數。
一元三次方程求根公式的檢驗
我們可以將求根公式代入回原方程中來檢驗公式是否正確。
特殊型一元三次方程
其中一個解為
u和v的關係的證明
代入x³，展開後得到
u和v的立方和為
u和v的乘積可以用平方差公式計算
所以
因此，卡丹公式是正確的。
一元三次方程Excel求解三次方程
Excel求解三次方程
F欄計算參數p：
=(3*A2*C2-B2*B2)/(3*A2*A2)
G欄計算參數q：
=(27*A2*A2*D2-9*A2*B2*C2+2*B2*B2*B2)/(27*A2*A2*A2)
H欄計算判別式△：
=G2*G2/4+F2*F2*F2/27
I欄計算判別式的平方根：
=IMSQRT(H2)
J欄為方程第一個根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(3*A2),IMCBRT(IMSUM(-G2/2,I2)),IMCBRT(IMSUB(-G2/2,I2))),6)
K欄為方程第二個根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(3*A2),IMCBRT(IMSUM(-G2/2,I2),1),IMCBRT(IMSUB(-G2/2,I2),2)),6)
L欄為方程第三個根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(3*A2),IMCBRT(IMSUM(-G2/2,I2),2),IMCBRT(IMSUB(-G2/2,I2),1)),6)
M欄檢驗第一的根的誤差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,J2,J2,J2),IMPRODUCT(B2,J2,J2),IMPRODUCT(C2,J2),D2),6)
N欄檢驗第二個根的誤差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,K2,K2,K2),IMPRODUCT(B2,K2,K2),IMPRODUCT(C2,K2),D2),6)
O欄檢驗第三個根的誤差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,L2,L2,L2),IMPRODUCT(B2,L2,L2),IMPRODUCT(C2,L2),D2),6)
其中用到的兩個自定義函數（按Alt+F11，在彈出的窗口中添加模塊）：
Function IMCBRT(x, Optional w As Integer = 0) If WorksheetFunction.Imaginary(x) = 0 Then IMCBRT = WorksheetFunction.Power(x, 1 / 3) Else IMCBRT = WorksheetFunction.ImPower(x, 1 / 3) End If If w Mod 3 = 1 Then w1 = WorksheetFunction.Complex(-1 / 2, VBA.Sqr(3) / 2) IMCBRT = WorksheetFunction.ImProduct(w1, IMCBRT) ElseIf w Mod 3 = 2 Then w2 = WorksheetFunction.Complex(-1 / 2, -VBA.Sqr(3) / 2) IMCBRT = WorksheetFunction.ImProduct(w2, IMCBRT) End If End Function Function IMROUND(x, Optional n As Integer = 0) real = WorksheetFunction.Round(WorksheetFunction.ImReal(x), n) imag = WorksheetFunction.Round(WorksheetFunction.Imaginary(x), n) IMROUND = WorksheetFunction.Complex(real, imag) End Function
函數的用法：
IMCBRT(x)求x的算術立方根，IMCBRT(x,1)和IMCBRT(x,2)求x的其他兩個立方根
（注意-8的算術立方根是-2，不是1+√3i，Excel自帶的IMPOWER(-8,1/3)算出來的是1+√3i）
IMROUND(x,n)讓複數x四捨五入保留n位小數
一元三次方程未知數與常數互易法
上述方法雖然運用了兩次求根公式，但是比起一般的解一元三次方程的方法就要簡單得多。
