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韋達定理
鎖定
- 中文名
- 韋達定理
- 外文名
- Vieta theorem
- 提出者
- 弗朗索瓦·韋達
- 提出時間
- 1615年
- 適用領域
- 方程論 初等數學 解析幾何 三角
- 應用學科
- 數學代數
韋達定理定理關係
設一元二次方程
中,兩根x₁、x₂有如下關係:
韋達定理數學推導
由一元二次方程求根公式知:
則有:
韋達定理定理推廣
韋達定理逆定理
如果兩數α和β滿足如下關係:α+β=
,α·β=
,那麼這兩個數α和β是方程
的根。
韋達定理推廣定理
韋達定理不僅可以説明一元二次方程根與係數的關係,還可以推廣説明一元n次方程根與係數的關係。
定理:
設復係數一元n次方程
的根為
,則成立:
即:所有根之和為(n-1)次項係數與n次項係數之比的相反數,所有根之積為常數項與n次項係數之比再乘以(-1)n
注:該推廣形式的證明一般無法根據求根公式進行,因為5次以上的一元方程沒有求根公式。證明步驟較繁瑣,是通過將左邊的多項式因式分解成
之後,再去括號,比較相同次數的項的係數從而得出結論。這個方法具有普遍性,即使是有求根公式的方程,亦可以通過該方法證明韋達定理,而無需藉助求根公式。
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韋達定理發展簡史
公元前 2000 年左右,古巴比倫的數學家就能解簡單的一元二次方程了,古埃及的紙草文書中也有所提及。公元前 480 年,中國數學家使用配方法求得了二次方程的正根,還在方程的研究中應用了內插法,可惜的是,並沒有提出通用的求解方法。
公元 628 年,印度數學家婆羅摩笈多出版了《婆羅摩修正體系》,給出了一元二次方程 x2 + px + q = 0的一個求根公式。公元 820 年,阿拉伯數學家花拉子米出版了《代數學》。書中討論到方程的解法,除了給出二次方程的幾種特殊解法外,還第一次給出了一元二次方程的一般解法。他把方程的未知數叫做“根”,承認方程有兩個根,並有無理根存在。同樣可惜,他未認識到虛根這個概念。
16 世紀,意大利的數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。與此同時,法國數學家韋達在研究二次方程時注意到,如果一次項的係數是兩個數之和的相反數,而常數項是這兩個數的乘積,則這兩個數就是這個方程的根。雖然,由於時代的侷限性,韋達當時沒能從理論上證明,但他的數學思想和數學著作都大大充實了數學寶庫。
歷史是有趣的,雖然韋達在 16 世紀就得出了這個定理,但是要證明這個定理卻需要依靠代數基本定理,而代數基本定理卻在 1799 年才被高斯第一次實質性地論證。1615年,韋達生前寫成的《論方程的整理與修正》一書出版
[11]
。書中對一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改進,並揭示了方程根與係數的關係。
[7]
韋達定理定理意義
韋達定理在求根的對稱函數,討論二次方程根的符號、解對稱方程組以及解一些有關二次曲線的問題都凸顯出獨特的作用。
一元二次方程的根的判別式為
(a,b,c分別為一元二次方程的二次項係數,一次項係數和常數項)。韋達定理與根的判別式的關係更是密不可分。
根的判別式是判定方程是否有實根的充要條件,韋達定理説明了根與係數的關係。無論方程有無實數根,實係數一元二次方程的根與係數之間適合韋達定理。判別式與韋達定理的結合,則更有效地説明與判定一元二次方程根的狀況和特徵。
[1]
韋達定理最重要的貢獻是對代數學的推進,它最早系統地引入代數符號,推進了方程論的發展,用字母代替未知數,指出了根與係數之間的關係。韋達定理為數學中的一元方程的研究奠定了基礎,對一元方程的應用創造和開拓了廣泛的發展空間。
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- 參考資料
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- 6. 張雪明著. 中學數學文化點要[M]. 上海社會科學院出版社, 2017.25.
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- 9. 林偉洪. 多項式理論中根與係數的關係及其應用[J]. 黎明職業大學學報,2007(4):51-53.
- 10. 陳啓耀 談韋達定理及其逆定理在解題中的應[J]. 桂林市教育學院學報,1999,13(3):86.
- 11. 滕浩. 世界科學簡史[M]. 北京:當代世界出版社, 2022.06:73
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