-
一元n次方程
鎖定
一元n次方程(equation of degree n with one unknown)是一元n次多項式所確定的方程，指方程a0xn+a1xn-1+…+an=0 (a0≠0)，當n≥3時，稱為高次方程.研究一元n次方程的根，包括根的存在、根式解、根的界和根的個數等，曾經是代數學的中心問題，一元n次方程的係數和有理常數以及對這些數進行加、減、乘、除和開整數次方的符號組成的式子，稱為方程的根式，根式解就是求將代數方程的根用方程係數的根式表達出來，n次方程的根式解，亦稱為代數解法，三次方程與四次方程的根式解於16世紀由意大利數學家給出，此後自然地開始尋求五次以及五次以上代數方程的根式解，這種嘗試一直繼續近三個世紀，經過萊布尼茨(G.W.Leibniz)、範德蒙德(A.-T.Vandermonde)、拉格朗日(J.-L.Lagrange)、魯菲尼(P.Ruffini，)等人的艱辛努力，直到19世紀才由阿貝爾(N.H.Abel，)解決，他證明了一般的n (n≥5)次方程不能用根式解，不久伽羅瓦(E.Galois，)用羣論方法得出了方程可用根式解的充分必要條件
[1]
。
- 中文名
- 一元n次方程
- 外文名
- equation of degree n with one unknown
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 高等代數(多項式)
- 簡 介
- 一元n次多項式所確定的方程
一元n次方程基本介紹
如果f(x)是一元n次多項式，那麼f(x)=0叫做一元n次方程，一元n次方程的一般形式是：
f(x)=anxⁿ+an-1xⁿ-1+…+a1x+a0=0 (其中an≠0，n∈N.)……①
當n>2時，稱為一元高次方程。
(1)若ai(i=0，1，2，…，n)是複數，則稱方程為復係數一元n次方程，n>2時為復係數高次方程。
(2)若ai(i=0，1，2…，n)是實數(或有理數、整數)，則稱方程①為實係數(或有理係數、整係數)一元n次方程.n>2時，也稱實係數(或有理係數、整係數)高次方程.。
一元n次方程一元n次多項式的解
一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程分別有一個根、二個根、三個根，它們都可以用代數解法來解，並且有求根公式。可以證明一元四次方程有四個根，並且可以用代數解法求解。 當n > 4時，根據伽羅華理論， 一般形式的n次方程不能用代數解法來解
[3]
。
關於一元n次方程的根的個數，我們有以下定理和推論。
定理1 (代數基本定理)一元n次方程至少有一個根。
如果f (x )的次數大於1, 那麼根據定理1可以知道，方程f (x) =0至少有一個根，設這個根是α，那麼由於f(α) =0，根據因式定理可以知道， f(x)=(x-α)q(x).，因為x-α和q (x)的次數都低於f(x)的次數，所以f(x)可約，由此我們得到:
推論2 f(x)=a0xⁿ+a1xⁿ-1+…+an-1x+an=0 (其中a0≠0，n∈N)的標準分解式是
根據f (x)的標準分解式可以知道，如果x=αi(i=1,2,...,),那麼f(αi) =0,所以αi是方程f(x)=0的根。這就是説，f(x)的毎一個一次因式的根都是方程f(x)=0的根，如果x-αi是f (x)的k重因式，那麼就説αi是方程f(x)=0的k重根，在討論根的個數吋，k重根當作k個計算。
例如，方程(x-2)3(x+1)2(x-1)=0有三重根2，二重根-1，単根1，因此，這個方程一共有6個根。
定理2一元n次方程有n個根並且只有n個根。
證根據定理1的推論2，任何一個一元n次方程f(x)=0，如果把f(x)分解成標準分解式，就得
因為方程有k1重根α2,k2重根α2,..., kl重根αl，共 有k1+k2+...+kl=n個根，又因為f (x)的標準分解式是唯一的，所以f(x)=0有n個根並且只有n個根。
下面是一元n次方程的根和係數的關係的定理。
定理3 (韋達定理)如果一元n次方程f(x)=a0xⁿ+a1xⁿ-1+…+an-1x+an=0 (其中a0≠0，n∈N)的根是
，那麼
一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解為
韋達(Viete)給出了一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的一個求根公式為
一元四次方程由費拉里(Ferrari)解決，方法是將一元四次方程化為兩個一元二次方程與一個一元三次方程求解。
拉格朗日發現不能用求一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程的方法來求解一元五次和一元五次以上的代數方程。
魯菲尼(Ruffini)-阿貝爾(Abel)定理：一般地，五次和五次以上的代數方程是不可能由代數根式求解。
