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遞推數列
（數列名稱）
鎖定
遞推數列數列簡介
首先數列的定義是：按一定次序排列的一列數稱為數列（sequence of number）。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。
排在第一位的數列稱為這個數列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項。所以，數列的一般形式可以寫成
.
簡記為
。
通項公式：有些時候，數列的第
項
與項的序數
之間的關係可以用一個公式表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式。
如果可以用一個公式來表示,則它的通項公式是
.
遞推數列數列分類
遞推數列遞推公式
遞推公式：如果數列{a[n]}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。
用遞推公式表示的數列就叫做遞推數列
比如等比數列
可以表示為：
遞推數列常見數列
遞推數列等差數列
相關定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列（arithmetic sequence），等差數列可以縮寫為A.P.。這個常數叫做等差數列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmetic mean）。
有關係：
.
相關公式
通項公式
求和公式
Sn=(d/2)*n2+(a1-d/2)n
（求和公式的思想來源於首尾配對）
性質
從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數列，等等。
和=（首項+末項）×項數÷2
項數=（末項-首項）÷公差+1
首項=2和÷項數-末項
末項=2和÷項數-首項
設a1,a2,a3為等差數列。則a2為等差中項,則2a2=a1+a3。
應用
日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別
時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。
若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。
遞推數列等比數列
相關定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列（geometric sequence）。這個常數叫做等比數列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
等比數列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那麼G叫做a與b的等比中項。
有關係：G2=ab；G=±(ab)1/2
相關公式
通項公式
an=a1qn-1
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
求和公式
當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)
相關計算
1.等比數列:
通項公式 an=a1*qn-1（a1：首項；an：第n項）
an=a1*qn-1,am=a1*qm-1
則an/am=qn-m
(1)an=am*qn-m
(2)a,G,b 若構成等比中項,則G2=ab (a,b,G≠0)
(3)若m+n=p+q 則 am*an=ap*aq
2.等比數列前n項和
設 a1,a2,a3...an構成等比數列
前n項和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1*q+a1*q2+....a1*qn-2+a1*qn-1
這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去,所以希望這個公式也要理解。
Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) （q≠1）
Sn=na1 （q=1）
性質
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們説：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
性質：
①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq
②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列.
G是a、b的等比中項”“G2=ab（G≠0）
(5) 等比數列前n項之和Sn=a1(1-qn)/(1-q)
在等比數列中，首項a1與公比q都不為零.
應用
等比數列在生活中也是常常運用的。
如：銀行有一種支付利息的方式---複利。
即把前一期的利息和本金價在一起算作本金，
再計算下一期的利息，也就是人們通常説的利滾利。
按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比數列的通項公式是：an=a1*qn-1
若通項公式變形為an=a1/q*qn(n∈N*),當q>0時，則可把an看作自變量n的函數，點(n,an)是曲線y=a1/q*qx上的一羣孤立的點。
（2）求和公式：Sn=na1(q=1)
Sn=a1(1-qn)/(1-q)
=(a1-a1*qn)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即a-aqn)
(前提：q ≠ 1)
任意兩項am，an的關係為an=am*qn-m
（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1*an=a2*an-1=a3*an-2=…=ak*an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中項：aq·ap=ar2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1*a2…an，則有π2n-1=an*2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
遞推數列等和數列
定義
“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的後一項的和都為同一個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。
對一個數列，如果其任意的連續k（k≥2）項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列
性質
必定是循環數列
常見形式
an=Sn-Sn-1 （n≥2）
累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...將以上各項相加可得an）。
逐商全乘法（對於後一項與前一項商中含有未知數的數列）。
化歸法（將數列變形，使原數列的倒數或與某同一常數的和成等差或等比數列）。
特別數
在等差數列中，總有Sn S2n-Sn S3n-S2n
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
即三者是等差數列,同樣在等比數列中。三者成等比數列
不動點法求數列通項
對於某些特定形式的數列遞推式可用不動點法來求.
遞推數列求解公式
下面將寫出一些特定遞推公式的基本方法，遞推公式千變萬化，重要的是汲取其中的思想。
1. 形如
的方法
用累加法，即
2. 形如
的方法
用累乘法，即
3. 形如
的方法
此時發現，若定義
,則有
.
4. 特徵根的應用
數列
滿足
.
稱其特徵方程為
.
若方程兩根
.
若方程兩根
.
注意,
均為待定係數，由數列
的初始值決定.
這個方法的證明略。
