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錯位相減法
鎖定
- 中文名
- 錯位相減法
- 外文名
- Dislocation Subtraction
- 別 名
- 錯位法
- 適用領域
- 代數
- 應用學科
- 數學
錯位相減法條件
錯位相減法舉例
【典例】：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)·xn-1（x≠0，n∈N*）
當x=1時，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2
當x≠1時，Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1
∴xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn
兩式相減得(1-x)Sn=1+2(x+x2+x3+x4+…+xn-1)-(2n-1)xn
化簡得
錯位相減法解題應用
錯位相減法是數列求和的一種解題方法。在題目的類型中：一般是a前面的係數和a的指數是相等的情況下才可以用。
錯位相減法典例1：
求和：Sn=a+2a2+3a3+…+nan(a≠0,n∈N*)
分析：分a=1，a≠1兩種情況求解，當a=1時為等差數列易求；當a≠1時利用錯位相減法即可求得。
解：
(1)當a=1時，
；
(2)當a≠1時，Sn=a+2a2+3a3+…+nan……①
①×a得，aSn= a2+2a3+3a4+……+nan+1 ……②
①-②得，(1-a)Sn=a+(2-1)a2+(3-2)a3+(4-3)a4……+(n-n+1)an-nan+1
(1-a)Sn=a+a2+a3+a4+……+an-nan+1=a(1-an)/(1-a) -nan+1
∴
綜上所述，
當a=1時，
；
當a≠1時，
．
錯位相減法典例2：
求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……..+(2n-1)·xn-1（x≠0,n∈N*）
解：
當x=1時，Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n2
當x≠1時，Sn=1+3x+5x2+7x3+……..+(2n-1)xn-1
∴xSn=x+3x2+5x3+7x4……..+(2n-1)xn
∴兩式相減得：(1－x)Sn=1+2x[1+x+x2+x3+...+xn-2]-(2n-1)xn
化簡得：
錯位相減法典例3：
求和：
解：
①兩邊同時乘以
①-②得：
錯位相減法典例4：
已知數列{an}中，a1=3，點(an，an+1)在直線y=x+2上。
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn=an`3n，求數列{bn}的前n項和Tn。
解：
(1)∵點（an,an+1)在直線y=x+2上
∴an+1=an+2,即an+1-an=2
∴數列{an}是以3為首項，以2為公差的等差數列
∴an=3+2(n-1)=2n+1
(2)∵bn=an·3n
∴bn=(2n+1)·3n
∴Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n ①
3Tn=3×32+5×33+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1 ②
由①-②得
-2Tn=3×3+2(32+33+…+3n)-(2n+1)·3n+1
=9+2×9(1-3n-1)/(1-3)-(2n+1)·3n+1
=-2n·3n+1
∴Tn=n·3n+1
錯位相減法公式的推導
已知數列
的通項公式為
求其前
項和
因為
用上式減下式，得
應用等比數列求和公式可得
兩邊均乘
得
展開整理得
最終得到
