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數列求和
鎖定
- 中文名
- 數列求和
- 外文名
- Sequence summatio
- 適用領域
- 線性代數
- 應用學科
- 數學
- 求 法
- 裂項相消法，並項求和法
- 衍 生
- 證明
數列求和公式法
（首項+末項）×項數/2
舉例：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10/2=55
- 差比數列求和公式：
d:等差數列公差
e:等比數列首項
q:等比數列公比
- 其他
數列求和錯位相減法
{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.
例如：
Tn=上述式子/(1-q)
此外.①式可變形為:
Sn為{bn}的前n項和.
此形式更理解也好記
數列求和阿貝爾求和公式
該公式又叫做分部求和公式，是離散型的分部積分法，最早由數學家阿貝爾提出。這個方法也適合解決等差等比數列相乘的數列求和，但比起上面的錯位相減法，該方法方便快捷並且證明十分容易，考試中先寫出證明過程再直接代公式即可。
設{an}為公差為d的等差數列，{bn}為等比數列，Sn為數列{bn}的前n項和，Tn為數列{anbn}的前n項和，則：
再利用等比數列的求和公式把Sn寫出來即可。（這裏不寫是因為化簡後的公式十分複雜，字母繁多，不如具體問題具體分析）
證明：
事實上因為
，所以
數列求和倒序相加法
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ an-1+an-2...... +a1
上下相加得Sn=(a1+an)n/2
數列求和分組法
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
例如：an=2n+n-1，可看做是2n與n-1的和
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
數列求和裂項相消法
常用公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（當a≠b時）
（5）
[例] 求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.
解：an=1/n(n+1)=
（裂項）
則Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意： 餘下的項具有如下的特點：
1、餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2、餘下的項前後的正負性是相反的。
數列求和數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
例：
求證：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
證明：
當n=1時，有：
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假設命題在n=k時成立，於是：
1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
則當n=k+1時有：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證
數列求和通項化歸法
先將通項公式進行化簡，再進行求和。
如：求數列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。
數列求和並項求和法
（常採用先試探後求和的方法）
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（並項）
求出奇數項和偶數項的和，再相減。
方法二：
（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
方法三：
構造新的數列，可借用等差數列與等比數列的複合。
an=n(-1)^（n+1）
數列求和求和公式
通項式為K^m （m為自然數）的數列求和公式
係數數列為
l為{1；1/2；1/12；0；-1/720；0；……}其除第二項的所有偶數項皆為0,證明略.
例如m等於2 求和公式
通項式為多項式的數列求和公式
通項式為多項式的數列求和公式為其中各項求和公式簡單的線性組合。不做贅述。
數列求和數列求和極限
數列求和(27張)
- 通過恆等變形化為可用極限四則運算法則的情形；
- 適當放大縮小法則；
- 化為積分和利用定積分求極限；
- 利用數值級數求和的方法。
