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等差數列
鎖定
- 中文名
- 等差數列
- 外文名
- Arithmetic progression
- 學 科
- 數學
- 屬 性
- 數列
- 相關概念
- 公差,等差中項
- 通項公式
- an=a1+(n-1)*d
等差數列公式
等差數列定義式
對於數列{
}，若滿足：
則稱該數列為等差數列。其中，公差d為一常數，n為正整數。
等差數列通項公式
等差數列通項公式通過定義式疊加而來。
如果一個等差數列的首項為
，公差為d，那麼該等差數列第n項的表達式為：
已知前n項和公式求通項公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
以上5道題求通項的綜合公式
已知通項公式求前n項和公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
以上5題求和項的綜合公式
結論：我們可以把所有的方陣看成一個線性變換
1,2題的方陣記做D2
3,4題的方陣記做D3
5題的方陣記做D4
D2包含在D3中，D3包含在D4中
把所有的方陣記做Dn，Dn是可逆方陣Dn方陣十分容易構造（首先是一個上三角矩陣）
- 方陣的主對角線是從1到n的正整數
- 如果先不管方陣中的正負號a.第一行全是1b.從2行3列開始所有元素都遵守如下規律Dn(i,j)=Dn(i-1,j)+Dn(i-1,j-1)，就是説，除了第一排和主對角線的元素，所有元素的值都等於相鄰左邊元素的值加上相鄰左上角的值
- 把主對角線看成一斜列，往方陣右上角看，都是一列正一列負
Dn還有如下特徵
- 每一列的和為1
- Dn逆矩陣每一列的和為1
記Dn的逆矩陣為Fn
附上MATLAB中的構造程序
function p=D(r) p=zeros(r,r); for m=1:r; p(1,m)=1;p(m,m)=m;end for m=2:r-1; for n=m+1:r; p(m,n)=p(m,n-1)+p(m-1,n-1); end end for m=2:2:r; for n=1:r-m+1; p(n,m+n-1)=-p(n,m+n-1); end end function p=F(r) p=zeros(r,r); for k=1:r,w=2:k; p(1,k)=1-sum(p(w,k)); for n=2:r-k+1,p(n,n+k-1)=(n+k-2)/n*p(n-1,n+k-2); end end
等差數列遵守
的形式，可規定，若b為數列的0項，則記為
，k為數列的公差，記為d，y為通項公式，記為
，則：
對應的求和數列為：
，其中
正整數。
等差數列求和公式
若一個等差數列的首項為
，末項為
那麼該等差數列和表達式為：
即（首項+末項）×項數÷2。
等差數列前n項和公式
求解兩個等差數列相乘的前n項和的公式:
等差數列推論
（2）從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出
(類似：
，
)
（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
，
若m+n=2p，則
。
證明：
;
因為m+n=p+q，所以
。
（4）其他推論：
① 和=（首項+末項）×項數÷2；
②項數=（末項-首項）÷公差+1；
③首項=2x和÷項數-末項或末項-公差×（項數-1）；
④末項=2x和÷項數-首項；
⑤末項=首項+（項數-1）×公差；
⑥2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和。
等差數列等差中項
等差中項即等差數列頭尾兩項的和的一半，但求等差中項不一定要知道頭尾兩項。等差數列中，等差中項一般設為
。當
成等差數列時，
，所以
為
的等差中項，且為數列的平均數。並且可以推知n+m=2×r，且任意兩項
的關係為：
，(類似
)，相當容易證明，它可以看作等差數列廣義的通項公式。
等差數列的應用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有
。則
。
其實，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了：今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何?書中的解法是：並初、末日織布數，半之，餘以乘織訖日數，即得。這相當於給出了
的求和公式。
等差數列基本性質
（1）數列為等差數列的重要條件是：數列的前n項和S 可以寫成S =
+
的形式(其中a、b為常數)。
（2）在等差數列中，當項數為
時，
；當項數為
時，
。
（3）若數列為等差數列，則
…仍然成等差數列，公差為
。
（4）若數列
均為等差數列，且前n項和分別是
，則
=
。
（5）在等差數列中，S = a，S = b (n>m)，則S = (a－b)。
（6）記等差數列的前n項和為S。①若a >0，公差d<0，則當a ≥0且
+1≤0時，S 最大；②若a <0 ，公差d>0，則當a ≤0且
+1≥0時，S 最小。
等差數列等差數列的判定
（1）
(d為常數、n ∈N*)或
，n ∈N*，n ≥2，d是常數]等價於
成等差數列。
（2）
等價於
成等差數列。
（3）
[k、b為常數,n∈N*]等價於
成等差數列。
（4）
[A、B為常數，n ∈N* ]等價於
為等差數列。
等差數列特殊性質
在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和；特別的，若項數為奇數，還等於中間項的2倍,
即，
中。
例：數列：1，3，5，7，9，11中
，即在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和。
數列：1，3，5，7，9中
。
即若項數為奇數，和等於中間項的2倍，另見，等差中項。
等差數列例題
在等差數列
中，
(1)已知
， 求
與d；
(2)已知
， 求
。
解答：
- 參考資料
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- 1. 等差數列與等比數列 ．人教網．2007-09-25[引用日期2017-08-26]
- 2. 雷陽，歐陽佔寶，夏立安編. 高中數理化公式定理大全[M]. 2007
