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有界性
鎖定
函數的有界性定義：若存在兩個常數m和M，使函數y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。 則稱函數y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
- 中文名
- 有界性
- 外文名
- boundedness
- 所屬學科
- 數理科學函數
- 分 類
- 上界、下界
- 相關概念
- 有界、無界、
有界性定義
有界性定義1
例如，函數
在其定義域
內有界，這是因為對任意
，總有
。
再如，函數
在其定義域
內是無界的，這是因為對任意的實數
，總存在點
，顯然
，使得
，然而，對任意實數
，函數
在定義域的子集
上卻是有界的，這是因為對任意
，總有
，於是便可取實數
．使得
。
[1]
有界性定義2
設函數
在數集
上有定義，如果存在常數
，使得對任意
，有
顯然，若
在A上有界，則
在A必有上、下界。反之，若
在A上有上、下界，則
在A上必有界．
圖1 函數是否有界
有界性注意點
關於函數的有界性．應注意以下兩點：
(1)函數在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；
(2)從幾何學的角度很容易判別一個函數是否有界(見圖2)．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數的圖形介於它們之間，那麼函數一定是無界的，如
。
圖2 函數是否有界
有界性例題解析
例1： 討論下列函數的有界性：
(1)
；
(2)
．
解: (1)由於對一切
，都有
故
在
上是有界函數。
(2)根據
的圖形容易看出，不論正數M多麼大，不等式
不可能對一切
均成立，因此
在
上是無界函數。
例2：
證明：函數
是有界函數。
證明：
的定義域為
，又
