特徵方程

下面所介紹的僅僅是數列的特徵方程。

一個數列:

設 有r，s使

所以

得

消去s就導出特徵方程式

遞推是中學數學中一個非常重要的概念和方法，遞推數列問題能力要求高，內在聯繫密切，藴含着不少精妙的數學思想和數學方法。新教材將數列放在高一講授，並明確給出“遞推公式”的概念：如果已知數列 的第1項（或前幾項），且任一項 與它的前一項 （或前幾項）間的關係可以用一個公式來表示，那麼這個公式叫做數列的遞推公式。有通項公式的數列只是少數，研究遞推數列公式給出數列的方法可使研究數列的範圍大大擴展。新大綱關於遞推數列規定的教學目標是“瞭解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項”，但從近十年來高考試題中常以遞推數列或與其相關的問題作為能力型試題來看，這一目標是否恰當似乎值得探討，筆者以為“根據遞推公式寫出數列的前幾項”無論從思想方法還是從培養能力上來看，都不那麼重要，重要的是學會如何去發現數列的遞推關係，學會如何將遞推關係轉化為數列的通項公式的方法。 ^[1] 

以線性遞推數列通項求法為例，這裏説明特徵方程的應用。

關於一階線性遞推數列： 其通項公式的求法一般採用如下的參數法， ^[2]  將遞推數列轉化為等比數列：

對於數列

，

設

化簡得

與原遞推式比較，得

將解得的t代入上式即得等比數列 ，用等比數列通項即可得出原數列 。

對於二階線性遞推數列，可採用特徵方程法：

對於數列

，遞推公式為

其特徵方程為

1、 若方程有兩相異根p、q ，則

2、 若方程有兩等根p ，則

其中

，

可由初始條件確定。

例：求斐波那契數列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...的通項公式 ^[2] 

線性遞推數列的特徵方程為：

解得

則

因為

所以

解得：

所以

對於更高階的線性遞推數列，只要將遞推公式中每一個

換成

，就是它的特徵方程。 ^[3] 

最後，上述結論在求一類數列通項公式時固然有用，但將遞推數列轉化為等比（等差）數列的方法更為重要。如對於高階線性遞推數列和分式線性遞推數列，也可借鑑前面的參數法，求得通項公式。

定義：以邏輯函數的形式來描述次態與現態及輸入信號之間的關係。 ^[4] 

RS觸發器：Q*=S+R`Q (SR=0)；

D觸發器: Q*=D；

T觸發器：Q*=T⊕Q；

JK觸發器：Q=JQ`+K`Q。 ^[4] 

D（s）為閉環傳遞函數P=G（s）/[1+H(s)*G(s) ]的分母。 ^[5]