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數列通項公式
鎖定
- 中文名
- 數列通項公式
- 外文名
- Sequence of general term formula
- 類 別
- 公式
- 適用範圍
- 數學計算
數列通項公式求法
數列通項公式等差數列
對於一個數列{ an }，如果任意相鄰兩項之差為一個常數，那麼該數列為等差數列，且稱這一定值差為公差,記為 d ；從第一項 a1到第n項 an的總和，記為Sn 。
那麼 ， 通項公式為
，其求法很重要，利用了“疊加原理”的思想：
公式
此外， 數列前 n 項的和
，其具體推導方式較簡單，可用以上類似的疊加的方法，也可以採取迭代的方法，在此，不再複述。
值得説明的是，
，也即，前n項的和Sn 除以 n 後，便得到一個以a1 為首項，以 d /2 為公差的新數列，利用這一特點可以使很多涉及Sn的數列問題迎刃而解。
數列通項公式等比數列
對於一個數列 {an}，如果任意相鄰兩項之商（即二者的比）為一個常數，那麼該數列為等比數列，且稱這一定值商為公比 q ；從第一項a1 到第n項an 的總和，記為Tn 。
那麼， 通項公式為
(即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推導為“連乘原理”的思想：
a2=a1 * q,
a3= a2 * q,
a4= a3 * q,
````````
an=an-1 * q,
此外， 當q=1時 該數列的前n項和
當q≠1時 該數列前n 項的和
=
數列通項公式一階數列
數列通項公式概念
不妨將數列遞推公式中同時含有an 和an+1的情況稱為一階數列，顯然，等差數列的遞推式為
an=an-1 + d , 而等比數列的遞推式為 an =an-1 * q ； 這二者可看作是一階數列的特例。故可定義一階遞歸數列形式為： an+1 = A *an + B ········☉ , 其中A和B 為常係數。那麼，等差數列就是A=1 的特例，而等比數列就是B=0 的特例。
數列通項公式思路
思路一： 原式複合 （ 等比形式）
可令an+1 - ζ = A * (an - ζ )········① 是原式☉變形後的形式，即再採用待定係數的方式求出 ζ 的值， 整理①式 後得an+1 = A*an + ζ - A*ζ , 這個式子與原式對比可得，
ζ - A*ζ = B
即解出 ζ = B / (1-A)
思路二： 消元複合（消去B）
由 an+1 = A *an + B ········☉ 有
an = A* an-1 +B ··········◎
☉式減去◎式可得 an+1 - an = A *（ an - an-1）······③
令bn = an+1 - an 後， ③式變為bn = A*bn-1 等比數列，可求出bn 的通項公式，接下來得到 an - an-1 =
（其中
為關於n的函數）的式子， 進而使用疊加方法可求出 an
數列通項公式二階數列
數列通項公式概念
an+2 = A * an+1 +B * an , （ 同樣，A，B常係數）
數列通項公式思路
基本思路類似於一階，只不過，在複合時要注意觀察待定係數和相應的項
原式複合： 令 原式變形後為這種形式 an+2 - ψ * an+1 = ω (an+1 - ψ * an)
將該式與原式對比 ，可得
ψ + ω = A 且 -（ψ*ω）= B
通過解這兩式可得出 ψ與ω的值，
令bn = an+1 - ψ*an , 原式就變為bn+1 = ω *bn 等比數列，可求出bn 通項公式bn= f (n) ，
即得到 an+1 - ψ*an = f (n) (其中f(n) 為關於n的函數), 而這個式子恰複合了一階數列的定義，即只含有an+1和an 兩個數列變項，從而實現了“降階”，化“二階”為“一階”，進而求解。
數列通項公式常見類型
數列通項公式累加法
遞推公式為
，且f(n)可以求和
例：數列{an}，滿足a1=1/2，an+1 = an + 1/(4n2-1)，求{an}通項公式
解：an+1 = an + 1/(4n2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an = a1 +（1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1)）
∴an = 1/2+1/2 (1-1/(2n-1) )=
數列通項公式累乘法
遞推公式為
且f(n)可求積
例：數列{an }滿足
，且a1=4，求an
解：
an = 2n(n+1)
數列通項公式構造法
將非等差數列、等比數列，轉換成相關的等差等比數列
- 適當的進行運算變形例：{an} 中，a1=3且 an+1 = an2, 求an解：ln an+1= ln an2 = 2 ln an∴{ln an}是等比數列，其中公比q = 2，首項為ln3∴ln an = (2n-1) ln3故
- 待定係數法A.遞推式為an+1 = p*an + q（p，q為常數），可以構造遞推數列{an + x}為 以p為公比的等比數列，即an+1 + x=p*(an+x)，其中 x = q / (p-1) （或者可以把設定的式子拆開，等於原式子）例：{an}中a1=1，an+1 = 3an+4,求an解：an+1 + 2 = 3(an+2)∴{an+2}是等比數列 首項是3，公比是3∴an = 3n - 2B.遞推公式為an+1 = p*an + qn（p，q是常數）常規變形，將兩邊同時除以qn+1得到an+1 / qn+1 = (p / q)*( an/qn)+1/q再令bn = an / qn,可以得到bn+1 = k*bn + m（其中k=p/q , m=1/q）之後就用上面A中提到的方法來解決C.遞推公式為an+2 = p*an+1+q*an,（p，q是常數）可以令an+2 =x2 , an+1 = x , an = 1解出x1和x2，可以得到兩個式子an+1 - x1 * an = x2 * (an - x1 * an-1)an+1 - x2 * an =x1* (an - x2* an-1)然後，兩式子相減，左邊可以得出來 （k為係數）右邊就用等比數列的方法得出來例：{an}中，a1=1, a2=2, an+2 = (2/3)an+1=(1/3) an解：x2 = 2x/3 = 1/3x1=1,x2=-1/3可以得到方程組an+1 - an = - (1/3)* (an - an-1)an+1 +(1/3)* an = an + (1/3)*an-1解得an = 7/4 - 3/4×(-1/3)^(n-1)D.遞推式an+1 = p* an + an +b（a，b，p是常數）可以變形為an+1 + xn+1 +y = p*(an + xn + y)然後和原式子比較，可以得出x，y，即可以得到{an+xn+y}是個 以p為公比的等比數列例：{an}中，a1=4， an=3an-1 + 2n-1 (n≥2)解：原式= an + n+1= 3 [an-1 + (n-1)+1]∴{an+n+1}為等比數列，q=3，首項是6∴an = 2×3n - n - 1
- 特徵根法遞推式為an+1 = (A*an+B) / (C*an+D) （A，B，C，D是常數）令an+1 = an = x,原式則為x = (Ax+B) / (Cx+D)(1)若解得相同的實數根x0，則可以構造數列{1/(an-x0)}為等差數列例：{an}滿足a1 = 2，an+1 = (2an-1)/(4an+6),求an解：x = (2x-1) / (4x+6)解得x0 = - 1/21/(an+1/2)=1/[(2an-1-1)/(4an-1+6) +1/2]=1/[an-1 + 1/2] +1∴{1/(an + 1/2)}是等差數列，d=1，首項是2/5∴an=5/(5n-3) -1/2(2)若解得兩個相異實根x1,x2,則構造{(an - x1)/(an - x2)}為等比數列（x1,x2的位置沒有順序，可以調換）例：{an}滿足a1 = 2，an+1 = (an+2)/(2an+1)解：由題可得(an-1)/(an+1)=-1/3 [an-1 - 1]/[an-1 + 1]則{(an-1)/(an+1)}是等比數列，q=-1/3，首項是1/3∴an = [1 + (-1)n-1 (1/3)n] / [1 - (-1)n-1 (1/3)n](3)如果沒有實數根，那麼這個數列可能是週期數列例：{an}中，a1 = 2,滿足an+1 = an-1 / an (n≥2)解：a1 = 2 , a2 = 1/2 , a3 = -1 , a4 = 2 , a5 = 1/2 ……所以an = 2（n MOD 3 = 1），1/2（n MOD3 = 1），－1（n MOD 3 = 0）（準確的應該是有大括號像分段函數那樣表示，但是這裏無法顯示）
數列通項公式連加相減
例：{an}滿足a₁+ 2a₂+ 3a₃+……+ nan = n(n+1)(n+2)
解：令bn = a₁+ 2a₂+ 3a₃+……+ nan = n(n+1)(n+2)
nan = bn - bn-1 = n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
∴an = 3（n+1）
