遞推公式

概念

如果一個數列的第n項an與該數列的其他一項或多項之間存在對應關係的，這個關係就稱為該數列的遞推公式。例如斐波納契數列的遞推公式為a_n=a_n-1+a_n-2

等差數列遞推公式：a_n=d(n-1)+a（d為公差 a為首項）

等比數列遞推公式：b_n=q(n-1)*b （q為公比 b為首項）

由遞推公式寫出數列的方法：

1. 根據遞推公式寫出數列的前幾項，依次代入計算即可；

2.若知道的是末項，通常將所給公式整理成用後面的項表示前面的項的形式。

亦稱遞歸列。由前面的項能推出後面的項的數列。指對所有n>p，滿足形如a_n=f(a_n-1，a_n-2，…，a_n-p)的關係式的序列{a_n}，其中f為某個函數。p是某個固定的正整數，a₁，a₂，…，a_p為已知數。p稱為這個遞推列的階數.上述關係式稱為遞推公式，給定a₁，a₂，…，a_p，可以從它得到所有a_n。形如a_n+c₁a_n-1+c₂a_n-2+…+c_pa_n-p=0(c₁，c₂，…，c_p是常數)的遞推公式稱為線性遞推公式，相應的序列稱為線性遞推列。最簡單的遞推列是一階遞推列，即滿足a_n=f(a_n-1)的序列{a_n}.它又稱迭代列。等差數列與等比數列都是線性的迭代列。 ^[1] 

等比數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等於同一個常數的一種數列，常用G、P表示。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列a₁≠ 0。其中{a_n}中的每一項均不為0。注：q=1 時，a_n為常數列。

（1）定義式：

（2）通項公式（等比數列通項公式通過定義式疊乘而來）：

（3）求和公式：

求和公式用文字來描述就是：Sn=首項（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）如果公比q=1，則等比數列中每項都相等，其通項公式為

，任意兩項

，

的關係為

；在運用等比數列的前n項和時，一定要注意討論公比q是否為1.

（4）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：

（5）等比中項：

若

，那麼

為

等比中項。

另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們説：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

等比中項定義：從第二項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與後一項的等比中項。

等比中項公式：

或者

。

（6）無窮遞縮等比數列各項和公式：

無窮遞縮等比數列各項和公式：公比的絕對值小於1的無窮等比數列，當n無限增大時的極限叫做這個無窮等比數列各項的和。

從第二項起，每一項都等於前一項加上同一個數d的有限數列或無限數列。又叫算術數列.這個數d稱為等差數列的公差。

等差數列從第二項開始每一項是前項和後項的算術平均數。

如果等差數列的公差是正數，則該等差數列是遞增數列；如果等差數列的公差是負數，則該數列是遞減數列；如果等差數列的公差等於零，則該數列是常數列。

對於一個數列a_l，a₂，…，a_n，…，如果它的相鄰兩項之差a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n+1-a_n，…構成公差不為零的等差數列，則稱數列{a_n}為二階等差數列。

運用遞歸的方法可以依次定義各階等差數列：對於數列{a_n}，如果{a_n+1-a_n}是r階等差數列，則稱數列{an}是r+1階等差數列.二階或二階以上的等差數列稱為高階等差數列。

r階等差數列的通項公式可以用一個關於項數n的r次多項式來表示，反之，通項公式為項數n的r次多項式的數列必為r階等差數列。 ^[2]