無窮遞縮等比數列

若一個等比數列{a_n}有無窮多項，並且它的公比q滿足|q|<1，則稱{a_n}為無窮遞縮等比數列。

設無窮遞縮等比數列{a_n}的前n項和為S，則

叫作這個無窮遞縮等比數列

時的和，並且

證明設無窮遞縮等比數列{a_n}當

時的前n項和為S，根據前n項和公式

令

，則

注意到|q|<1，則

故

此證明過程用到了極限思想，極限思想是數學史上一顆璀璨明珠，它既是整個微積分的基礎，又在實際生活中有着重要的應用，劉徽的割圓術是極限應用的輝煌範例之一 ^[1]  。

例如，把純循環小數

化為分數，因為

，可以看做是求首項為12/100，公比為q=1/100的無窮等比數列的各項和，所以

【例1】連續計息時終值與現值的計算。

解 設P為本金(現值)，r為年利率。

如果一年計息一次，那麼n年末本利和為

；

如果一年計息兩次(即每半年計息一次)，每次利率為r/2，則n年總共計息2n次，本利和為：

；

類似地，如果一年計息m次，則n年總共計息mn次，本利和為

。

如果連續複利計息(隨時計算利息，一年計算無窮多次利息)，那麼n年末本利和就是當

時，

的極限，即

即年利率為r連續計息時現值P到n年末的終值為Pe^rn；反之，n年末的終值P_n的現值為

。

【例2】由實驗知，某種細菌繁殖的速度在正常條件下與現有的細菌數量A₀成正比，即V=kA₀(k>o)，問經過時間t以後細菌的數量是多少?

解 為了計算出t時刻細菌的數量，可將時間間隔[0,t]分成n等份，由於細菌的繁殖是連續變化的，在很短的時間內細菌的數量變化很小，其繁殖速度可近似看作不變，因此，在第一段時間[0,t/n]內細菌繁殖的數量為

，第一段時間末細菌的數量為

；同樣，第二段時間末的細菌數量為

；以此類推，到最後一段時間末細菌的數量為

。

顯然，這是一個近似值，可以看出，當時間間隔分得越小(即n越大)時，這個值越接近精確值，若對時間間隔無限細分(即

)，則可求其精確值。所以經過時間t後細菌的總數是 ^[1]