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等比中項
鎖定
數列問題中的特殊性質,如果在等比數列a項和b項中,插入一個數G使a、G、b成等比數列,那麼G叫做a、b的等比中項。如果G是a與b的等比中項,則有G/a=b/G。
在解決一些數學問題時,如果發現其中存在類似等比中項的特徵,不妨巧設公比,利用q的橋樑作用解題,不僅思路新穎而且過程簡捷,從而為問題的解決提供了一種新的方法。
- 中文名
- 等比中項
- 外文名
- geometric mean
- 一級學科
- 數理科學
- 二級學科
- 數學
- 類 型
- 數學術語
- 特 點
- 同號的兩個數才有等比中項
等比中項等比數列
一般地,如果一個數列的首項不為0,且從第二項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,那麼這個數列就叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示(q不等於0)。如數列2,4,8,16就為等比數列,公比為2。
等比中項等比中項簡介
在等比數列a項和b項中,插入一個數G使a、G、b成等比數列,那麼G叫做a、b的等比中項。
若a和b的等比中項為c,則c的平方等於a和b的乘積。
若a,b,c成等比數列,則有
等比中項相關結論
由
,可知
成立。
還可由
,得
。
此結論説明,在等比數列中,從第二項起,每一項(有限數列末項除外)都是它前後兩項的等比中項。
同樣可證得
成立。
此結論説明,在等比數列中,任取數列中的某項都是與它前後等距離的兩項的等比中項(保證前後兩項都存在)。
等比中項性質
同號的兩個數才有等比中項;等比中項有兩個,且互為相反數。
在等比數列中,若2m=p+k,m與p,k∈N*,則,
.可以理解為,am是ap與ak的等比中項。
等比中項舉例
(1)等比數列4,9求該數列等比中項
解:設給數列等比數列為C 則
C/4=9/C
C2=36
C=±6
(2)在三角函數的應用:
因為
,所以
。
設
,
。
所以,
(3)在解方程的應用
已知x,y,z屬於正實數集,且
,
求證:
由
知,
,所以
等比數列。
設
,
得
所以
。