反饋

裂項法

裂項法，這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。通項分解（裂項）倍數的關係。通常用於代數，分數，有時候也用於整數。

裂項法裂項法求和

【例1】【分數裂項基本型】求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.

解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂項）

則 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)-[1/(n+1)]（裂項求和）

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

【例2】【整數裂項基本型】求數列an=n(n+1) 的前n項和.

解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項）

則 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項求和）

= [n(n+1)(n+2)]/3

【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂項公式將每個分式展開成兩個分數。

原式=1/3 *[（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/91-1/94）]=1/3*(1-1/94)=31/94

此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。

注意：餘下的項具有如下的特點

1餘下的項前後的位置前後是對稱的。

2餘下的項前後的正負性是相反的。

易錯點：注意檢查裂項後式子和原式是否相等，典型錯誤如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右邊應當除以2）

附：數列求和的常用方法：

公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)

1、分組法求數列的和：如aₙ=2n+3n

2、錯位相減法求和：如aₙ=n·2^n

3、裂項法求和：如aₙ=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如aₙ= n

5、求數列的最大、最小項的方法：

① aₙ+1-aₙ=…… 如aₙ= -2n2+29n-3

② (aₙ＞0) 如aₙ=

③ aₙ=f(n) 研究函數f(n)的增減性如aₙ= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差數列中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：

(1)當 a₁＞0,d＜0時, 滿足{aₙ}的項數m使得Sₘ取最大值.

(2)當 a₁<0,d>0時, 滿足{aₙ}的項數m使得Sₘ取最小值.

7、對於1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同樣適用。

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