數學物理方程

本書是編者根據在雲南大學數學與統計學院多年講授“數學與物理方程”課程所使用的講義整理而成 .主要介紹了四類基本方程的推導, 求解一階非線性偏微分方程邊值問題的特徵法, 二階半線性偏微分方程的分類理論, 以及求解一般二階線性偏微分方程定解問題的分離變量法、積分變換法和Green函數法. 在此基礎上, 着重講述了研究偏微分方程解的定性理論的能量法和極值原理. 本書 共分5章, 邏輯嚴謹、 敍述準確、 結構清晰、 內容充實, 並附適量習題供讀者鞏固知識之用. ^[1] 

第 1章基本方程的推導和定解問題

1.1一維波方程的推導和定解問題

1.1.1彈性弦一維橫振動方程的推導和定解問題

1.1.2彈性杆一維縱向振動運動方程和定解條件

1.2熱方程的推導及定解問題

習題 1.1

1.3 Laplace方程

1.4變分原理

1.4.1彈性薄膜的平衡最小勢能原理

1.4.2彈性薄膜的微小橫振動

Hamilton穩定作用原理

習題 1.2

1.5流體連續性方程

1.6偏微分方程相關概念

1.6.1多重指標

1.6.2偏微分方程定義及簡單分類

1.6.3常見的 PDE

1.6.4定解問題的適定性

習題 1.3 43

第 2章一階偏微分方程特徵理論 44

2.1一階線性 PDE特徵法 44

2.1.1一階線性 PDE邊值問題 45

2.1.2一階線性非齊次傳輸方程 46

2.2一階非線性 PDE特徵法 48

2.2.1尋找特徵 49

2.2.2解的局部存在唯一性 51

2.2.3特徵法的應用 54

習題 2.1 63

第 3章二階半線性偏微分方程的分類與化簡 65

3.1兩個獨立變元二階半線性偏微分方程的分類與化簡 66

3.1.1方程的分類 66

3.1.2化簡標準型 68

習題 3.1 77

3.2多個獨立變元二階半線性方程的分類 78

3.2.1多個獨立變元二階半線性方程的分類標準 78

3.2.2常係數二階半線性方程的化簡 80

習題 3.2 83

第 4章二階線性偏微分方程常用解法 85

4.1兩個獨立變元雙曲型方程特徵法 85

4.1.1 uηδ =0的情形 85

4.1.2幾類二階線性齊次雙曲第二標準型的通解 87

習題 4.1 91

4.2分離變量法 92

4.2.1線性齊次方程帶線性齊次邊界情形 93

4.2.2波方程混合問題的分離變量法 101

4.2.3熱方程混合問題的分離變量法 105

4.2.4線性橢圓型方程邊值問題的分離變量法117

4.2.5線性非齊次問題的齊次化 121

習題 4.2130

4.3 Sturm-Liouville問題136

4.3.1自共軛微分算子 136

4.3.2 Regular Sturm-Liouville問題 139

習題 4.3141

4.4波方程初值問題 142

4.4.1一維波方程情形 d’Alembert公式142

4.4.2三維波方程初值問題球面平均147

4.4.3二維波方程初值問題降維法155

4.4.4一維波方程半直線問題延拓法156

習題 4.4160

4.5熱方程 Cauchy問題 Fourier變換 162

4.5.1 Fourier變換 162

4.5.2熱方程 Cauchy問題 163

4.5.3熱方程半直線問題延拓法174

4.5.4 Fourier正弦變換和餘弦變換177

習題 4.5184

第 5章二階線性偏微分方程解的定性理論188

5.1雙曲型方程能量估計 188

5.1.1波方程初值問題解的物理解釋 Huygens原理188

5.1.2雙曲型方程能量估計解的適定性196

5.1.2.1混合問題能量估計198

5.1.2.2 Cauchy問題能量估計 210

習題 5.1220

5.2橢圓型方程能量估計222

5.2.1邊值問題的唯一性223

5.2.2邊值問題的穩定性225

習題 5.2228

5.3 Laplace方程的基本解極值原理 Green函數·229

5.3.1 Laplace方程基本解 230

5.3.2調和函數的平均值公式和極值原理234

5.3.3調和函數的性質 239

5.3.4 Poisson方程邊值問題解的 Green函數表示·247

習題 5.3264

5.4線性橢圓型方程極值原理265

5.4.1弱極值原理 Dirichlet邊值問題逐點先驗估計266

5.4.2 Hopf引理271

5.4.3強極值原理混合邊值問題逐點先驗估計272

習題 5.4278

5.5拋物型方程能量估計極值原理 278

5.5.1混合問題的能量估計279

5.5.2熱方程極值原理與逐點估計 284

5.5.3線性拋物型方程極值原理 287

5.5.4拋物型方程解的正性擾動的無限傳播291

5.5.5 Cauchy問題 292

5.5.6熱方程逆時間問題的不適定性 300

習題 5.5300

參考文獻 303

索引305 ^[1]