數學物理方程

本書是在非數學專業課程“數學物理方程”和“數學物理方程與特殊函數”的講義的基礎上編寫而成的。全書共分9章。第1章介紹各種典型方程和定解問題，為以後各章提供了一些備用的定理（原理）第2章回顧並且討論了常微分方程的解法，可將它看成為一維的數學物理方程問題。第3章介紹了對波動方程常用的行波法。第4章至第6章詳細介紹了數學物理方程中常用的分離變量方法。其中第5章與第6章結合一些特殊函數來討論，如：一維問題中容易出現的貝塞爾函數和勒讓德函數，三維問題中容易出現的柱函數和球函數，要求讀者認真掌握。第7章討論了無界問題十分有效的另一種方法：積分變換法。第8章與第9章講述與廣義函數相關的基本解方法和格林函數法。最後是附錄部分，對前面的章節內容進行了完善與歸納。

第1章數學物理方程的定解問題

1.1數學物理方程的一般概念

1.1.1一些基本概念

1.1.2三類基本方程

1.1.3簡單方程的一些解法

1.2數學物理方程的導出

1.2.1三類方程的導出

1.2.2三類方程與定解條件的特點

1.2.3地球物理學中的三類方程

1.3數學物理方程的定解問題

1.3.1定解問題

1.3.2初值問題

1.3.3邊值問題

1.3.4混合問題

1.4定解問題的適定性與廣義解

1.4.1定解問題的廣義解

1.4.2三類方程的適定性討論

1.4.3疊加原理（獨立作用原理）

1.4.4齊次化原理（衝量原理）

【閲讀材料】曲線座標系

習題1

第2章微分方程的固有值問題

2.1微分方程初值問題的求解方法

2.1.1齊次常微分方程的常用解法

2.1.2非齊次常微分方程的常用解法

2.1.3去掉一階項的方法

2.1.4初值問題的約束條件法

2.1.5初值問題的積分變換法

2.1.6初值問題的基本解方法（衝量原理法）

2.1.7初值問題的格林函數法

2.2微分方程邊值問題的冪級數解法

2.2.1微分方程的冪級數解法

2.2.2貝塞爾方程的冪級數解法

2.3二階微分方程的固有值問題

2.3.1固有值問題

2.3.2 S-L方程的固有值問題

2.3.3 S-L方程的邊界條件的討論

2.3.4 S-L方程的固有值與固有函數

2.3.5固有值問題的例題

2.4*正交函數與正交多項式

2.4.1正交函數與正交多項式的概念

2.4.2正交多項式的部分性質

2.4.3正交多項式的構造

2.4.4幾種常見的正交多項式

【閲讀材料】一些常見的特殊函數

習題2

第3章波動問題的行波法

3.1二階線性方程的分類與化簡

3.1.1兩個自變量方程的分類與化簡

3.1.2多個自變量方程的分類與化簡

3.2一維柯西問題的行波法

3.3半無界波動問題的行波法

3.4高維波動問題的行波法

3.4.1三維波動方程的泊松公式

3.4.2二維波動方程的行波法

3.5非齊次波動問題的基爾霍夫公式

習題3

第4章直角座標下的分離變量法

4.1基本定解問題的分離變量法

4.1.1弦振動方程的分離變量法

4.1.2熱傳導方程的分離變量法

4.2平面問題的分離變量法

4.2.1二維發展問題的分離變量法

4.2.2二維調和方程的分離變量法

4.3非齊次方程的分離變量法

4.3.1固有函數法

4.3.2齊次化方法（衝量原理法）

4.3.3特解方法

4.4非齊次邊界條件的齊次化方法

4.4.1取插值函數的齊次化方法

4.4.2顧及方程的齊次化方法

4.4.3*“雙”齊次化方法

4.5*一般定解問題的分離變量法

4.5.1一維定解問題的分離變量法

4.5.2多維問題對時間的分離方法

4.5.3直角座標下高維分離變量法

【閲讀材料】無界問題的分離變量法

習題4

第5章柱座標下的分離變量法（柱函數）

5.1極座標下的分離變量法

5.1.1二維調和方程的分離變量法

5.1.2二維圓形域內發展方程的分離變量法

5.2柱座標下的分離變量法

5.2.1柱座標下Δu=0的分離變量法

5.2.2柱座標下的Δu+λu=0分離變量

5.2.3柱座標下的Δu+λu=0分離變量（λ為常數）

5.3貝塞爾函數

5.3.1貝塞爾函數的定義

5.3.2貝塞爾函數的（部分）基本性質

5.3.3貝塞爾函數的遞推公式

5.3.4母函數公式

5.4貝塞爾函數的固有性質

5.4.1加法公式

5.4.2平面波的展開公式

5.4.3與積分相關的公式

5.4.4貝塞爾函數的固有性質

5.5其他貝塞爾函數

5.5.1第二類貝塞爾函數

5.5.2第三類貝塞爾函數

5.5.3虛宗量的貝塞爾函數

5.5.4半奇貝塞爾函數

5.5.5球貝塞爾函數

5.5.6變形貝塞爾函數

5.6柱函數在定解問題中的應用

習題5

第6章球座標下的分離變量法（球函數）

6.1球座標下的分離變量法

6.1.1球座標下Δu=0的分離變量法

6.1.2球座標下的Δu+λu=0分離變量

6.2勒讓德函數

6.2.1勒讓德函數的表示方法

6.2.2勒讓德函數的簡單性質

6.2.3第二類勒讓德函數

6.2.4母函數公式

6.2.5遞推公式

6.3勒讓德函數的固有性質

6.3.1勒讓德方程的固有值問題

6.3.2正交性質

6.3.3展開性質

6.4球函數

6.4.1連帶勒讓德函數

6.4.2連帶勒讓德函數的性質

6.4.3連帶勒讓德函數的固有性質

6.4.4球函數的表示方法

6.4.5球函數的固有性質

6.4.6一般函數的球諧展開

6.4.7加法公式

6.5球函數在邊值問題中的應用

6.5.1球函數與邊值勤問題的解

6.5.2求解邊值問題的例題

【閲讀材料】高維定解問題分離變量法的綜合（+時間）

習題6

第7章無界問題的積分變換法

7.1無界問題的傅里葉積分變換法

7.1.1傅里葉變換及其性質

7.1.2傳導方程的求解

7.1.3波動方程的求解

7.1.4調和方程的求解

7.2半無界問題的拉普拉斯積分變換法

7.2.1拉普拉斯變換及其性質

7.2.2柯西問題的拉普拉斯變換法

7.2.3半無界問題的拉普拉斯變換法

7.3*其他積分變換法

7.3.1傅里葉正（餘）弦變換法

7.3.2調和方程的積分變換法

7.3.3其他積分變換的方法

7.3.4用積分變換求解定解問題中的一些技巧

7.3.5廣義積分變換法

【閲讀材料】常用積分變換及其部分性質

【閲讀材料】卷積及其性質

習題7

第8章發展問題的基本解方法

8.1基本解的概念

8.1.1從衝量原理談起

8.1.2基本解的概念

8.2微分方程的基本解方法

8.2.1微分方程基本解的概念

8.2.2微分方程基本解的常用求法

8.2.3幾類方程的基本解

8.2.4微分方程的基本解法

8.3初值問題的基本解方法

8.3.1傳導型初值問題的基本解的求法

8.3.2傳導型初值問題的基本解方法

8.3.3波動型初值問題的基本解的求法

8.3.4波動型初值問題基本解方法

8.4混合問題的基本解方法

8.4.1傳導型混合問題的基本解方法

8.4.2波動型混合問題的基本解方法

8.4.3混合問題基本解方法的例題

習題8

第9章格林函數法

9.1格林函數的概念

9.1.1格林函數的概念

9.1.2格林函數與基本解的比較

9.1.3格林公式

9.2柯西問題的格林函數法

9.2.1傳導型柯西問題的格林函數方法

9.2.2波動方程柯西問題的格林函數方法

9.3混合問題的格林函數法

9.3.1混合問題格林函數的概念

9.3.2有界傳導問題的格林函數方法

9.3.3有界波動問題的格林函數方法

9.3.4混合問題的格林函數法的例題

9.4邊值問題的格林函數法

9.4.1邊值問題格林函數概念的再討論

9.4.2邊值問題格林函數與邊值問題的解

9.5格林函數的求解方法

9.5.1求解邊值問題格林函數的鏡像原理方法

9.5.2求解邊值問題格林函數分離變量方法

9.6第一邊值問題的格林函數解法

9.7*第二、第三球邊值問題的求解方法

9.7.1有用的公式

9.7.2內部邊值問題的解

9.7.3外部邊值問題的解

習題9

參考文獻

附錄數學物理方程求解方法討論

附錄A三類定解問題及其解的比較

附錄B微分方程的直接積分方法討論

後記

帶“*”號的章節為選讀章節。 ^[1]