數學物理方程

本書是根據工科碩士生的專業需求和數學基礎而編寫的數學物理方程教材。內容包括偏微分方程的基本概念，數學物理方程相關的背景，數學模型的建立與定解問題，定解問題的典型求解方法（求通解方法、行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數法以及數值求解法）。另外還介紹了勒讓德多項式和貝塞爾函數在求解定解問題時的應用。

本書模型導出過程詳細，與本科基礎課程聯繫緊密，突出應用。本書可作為工科各專業本科生、研究生的教材，也可作為工程技術人員的參考用書。 ^[1] 

第1章數學物理方程及其定解問題1

1.1波動方程及其定解問題2

1.1.1波動方程的導出2

1.1.2典型定解條件5

1.1.3典型定解問題10

習題1.1 11

1.2熱傳導方程及其定解問題12

1.2.1熱傳導方程的導出12

1.2.2典型定解條件14

1.2.3典型定解問題16

1.2.4最值原理17

習題1.2 19

1.3位勢方程及其定解問題20

1.3.1位勢方程的導出20

1.3.2位勢方程的典型定解問題21

1.3.3最值原理22

習題1.3 23

1.4定解問題的適定性及數學物理方程的分類23

1.4.1定解問題的適定性概念23

1.4.2二階偏微分方程的分類24

習題1.4 25

第2章線性偏微分方程的通解26

2.1線性偏微分方程解的結構定理26

習題2.1 27

2.2常係數線性齊次偏微分方程的通解27

習題2.2 29

2.3常係數線性非齊次偏微分方程的通解29

習題2.3 32

第3章行波法33

3.1一維波動問題與達朗貝爾公式33

3.1.1無界弦的自由振動33

3.1.2齊次化原理34

3.1.3無界弦的受迫振動35

3.1.4達朗貝爾公式的物理意義38

3.1.5依賴區間、決定區域、影響區域38

習題3.1 40

3.2空間波動問題41

3.2.1函數的球面對稱性41

3.2.2齊次波動問題的泊松公式41

3.2.3非齊次波動問題的Kirchhoff公式47

3.2.4波動問題解的物理意義49

習題3.2 51

第4章分離變量法52

4.1Sturm-Liouville本徵值問題52

4.1.1第一邊值條件的本徵值問題52

4.1.2混合邊值條件的本徵值問題53

4.1.3各類本徵值問題小結及級數展開54

習題4.1 55

4.2波動方程的定解問題56

4.2.1齊次方程的齊次邊值問題56

4.2.2級數形式解的物理意義59

4.2.3非齊次方程的齊次邊值問題61

4.2.4非齊次方程的第一非齊次邊值問題66

習題4.2 67

4.3熱傳導方程的定解問題68

4.3.1齊次方程的第二齊次邊值問題68

4.3.2非齊次方程的第二齊次邊值問題69

4.3.3非齊次邊值問題71

4.3.4混合邊值問題舉例73

習題4.3 76

4.4拉普拉斯方程的定解問題77

4.4.1圓域內的第一邊值問題77

4.4.2矩形域內的第一邊值問題79

習題4.4 82

第5章勒讓德多項式及其應用83

5.1勒讓德多項式83

5.1.1勒讓德方程及其本徵值問題83

5.1.2勒讓德多項式83

5.1.3勒讓德多項式的母函數與引力勢86

5.1.4勒讓德多項式的性質與勒讓德級數88

習題5.1 92

5.2勒讓德多項式的應用93

習題5.2 98

第6章貝塞爾函數100

6.1推廣的Γ-函數100

6.2貝塞爾方程的導出101

6.3貝塞爾方程的通解與貝塞爾函數103

6.4貝塞爾級數展開106

6.4.1貝塞爾函數的恆等式106

6.4.2貝塞爾函數的正交性107

6.4.3貝塞爾級數展開109

6.5貝塞爾函數的應用110

習題6.5 115

第7章積分變換法116

7.1傅里葉積分變換116

7.1.1傅里葉積分公式與傅里葉變換116

7.1.2傅里葉變換的基本性質120

7.1.3卷積121

7.1.4多重傅里葉變換124

習題7.1 125

7.2拉普拉斯變換125

7.2.1拉普拉斯變換的定義126

7.2.2存在定理及性質127

7.2.3反演公式130

習題7.2 133

7.3傅里葉變換和拉普拉斯變換的應用134

7.3.1一般定解問題134

7.3.2拉普拉斯變換在化學反應工程中的應用141

7.3.3拉普拉斯變換在材料科學中的應用145

習題7.3 147

第8章格林涵數法149

8.1δ-函數149

8.1.1δ-函數149

8.1.2δ-函數的物理意義150

8.1.3廣義函數與δ-函數的數學性質151

8.1.4高維δ-函數154

8.1.5δ-函數的傅里葉變換和拉普拉斯變換154

8.1.6δ-函數及其傅里葉變換和卷積運算在通信工程中的

應用156

習題8.1 158

8.2格林公式及其應用158

8.2.1格林公式159

8.2.2應用舉例159

習題8.2 160

8.3位勢問題的格林函數161

8.3.1格林函數的概念161

8.3.2位勢方程的第一邊值問題163

8.3.3用電像法求格林函數164

習題8.3 167

8.4含時間問題的格林函數168

8.4.1波動方程的初值問題168

8.4.2熱傳導方程的初值問題172

習題8.4 174

第9章數值求解法175

9.1波動方程的差分解法176

9.2熱傳導方程的差分解法177

9.3位勢方程的差分解法178

9.3.1同步迭代法180

9.3.2異步迭代法181

習題9.3 182

附錄Ⅰ常用公式184

附錄Ⅱ線性常微分方程的通解189

附錄Ⅲ傅里葉級數191

附錄Ⅳ傅里葉變換表191

附錄Ⅴ拉普拉斯變換表192

部分習題參考答案195

參考文獻208 ^[1]