數學物理方程

《數學物理方程 第2版/普通高等院校十三五規劃教材》是根據理工科 數學物理方程教學大綱的要求及工科各專業發展的需 求，在多年教學實踐的基礎上編寫的。內容包括數學 物理方程、特殊函數及非線性方程三部分；全書共分 九章，第一章介紹典型方程的導出、基本概念和一些 常見的偏微分方程，第二介紹一、二階線性偏微分方 程求通解的方法，第三、四、九章介紹數學物理方程 定解問題的各種解法，第五、六章介紹特殊函數及應 用，第七章介紹偏微分方程定解問題解的適定性(解 的存在性、穩定性)以及拉普拉斯方程邊值 問題的變分方法，第八章簡單介紹非線性偏微分方程 的解法。

全書可作為理工科各專業本科生學習教材及碩士 研究生學習應用數學基礎課程參考，也可供從事本類 課程教學的中青年教師參考。

第一章 典型方程與方程的分類

1.1 典型方程

1.1.1 引言

1.1.2 典型方程的導出

1.2 定解條件與定解問題

1.2.1 定解條件(Ⅰ)——初始條件(Initial Conditions)

1.2.2 定解條件(Ⅱ)——邊界條件(Boundary Conditions)

1.3 基本概念與定解問題

1.3.1 基本概念

1.3.2 定解問題及其適定性

1.4 經典線性偏微分方程

1.5 經典非線性偏微分方程

1.6 兩個自變量的二階線性偏微分方程

1.6.1 一階線性偏微分方程的解法

1.6.2 二階線性偏微分方程的解法

1.6.3 標準形式

習題一

第二章 線性偏微分方程的解法

2.1 一階線性偏微分方程的解法

2.1.1 一階線性方程的求解

2.2 二階線性偏微分方程的通解

2.3 常係數方程通解的行波解

2.4 常係數方程通解的微分算子法

2.4.1 微分算子法

2.4.2 簡化的微分算子符號法

2.5 關於弦的自由橫振動方程解的物理意義

2.6 微分算子法和一階線性方程其它解法*(選學)

2.6.1 微分算子法

2.6.2 一階線性偏微分方程解及其解法

習題二

第三章 行波法與微分算子法

3.1 行波法

3.1.1 弦振動方程的達朗貝爾解法

3.1.2 達朗貝爾解的物理意義

3.1.3 依賴區間、決定區域和影響區域

3.1.4 齊次化原理

3.2 高維波動方程的初值問題

3.2.1 三維波動方程的泊松公式

3.2.2 降維法

3.3 微分算子法

3.3.1 熱傳導方程柯西問題的解法

3.3.2 波動方程柯西問題的解法

3.3.3 試探函數法

3.4 積分變換

3.4.1 積分變換法舉例

習題三

第四章 分離變量法

4.1 一階問題的分離變量法

4.2 有界弦的自由振動

4.3 有限長杆的熱傳導問題

4.4 二維拉普拉斯方程的邊值問題

4.4.1 矩形域上拉普拉斯的邊值問題

4.4.2 圓域上拉普拉斯方程的邊值問題

4.5 非齊次方程的求解問題

4.5.1 有界弦的強迫振動問題

4.5.2 有限長杆的熱傳導問題(有熱源)

4.5.3 泊松方程

4.6 具有非齊次邊界條件的問題

4.7 固有值與固有函數

4.8 初、邊值問題的微分算子法

習題四

第五章 貝塞爾函數及應用

5.1 貝塞爾方程的導出

5.2 貝塞爾函數

5.3 貝塞爾函數的性質

5.3.1 母函數和積分表示

5.3.2 微分關係和遞推公式

5.3.3 半階函數

5.3.4 漸近公式

5.3.5 貝塞爾函數的零點和衰減振盪性

5.4 貝塞爾方程的固有值問題

習題五

第六章 勒讓德多項式

6.1 勒讓德方程的導出

6.2 勒讓德方程的解

6.2.1 勒讓德多項式

6.2.2 第二類勒讓德多項式

6.3 勒讓德多項式的性質及母函數

6.3.1 積分表示

6.3.2 母函數

6.3.3 遞推公式

6.4 勒讓德多項式及勒讓德級數解

習題六

第七章 能量積分法與變分方法

7.1 一維波動方程初值問題的能量不等式

7.2 初值問題解的唯一性與穩定性

7.3 初邊值問題的能量不等式

7.4 變分方法的物理背景

7.5 變分問題的可解性

7.6 呂茲一伽遼金方法

習題七

第八章 非線性數學物理方程

8.1 典型非線性方程及其行波解

8.1.1 Burgers方程及衝擊波

8.1.2 KdV方程及孤立波

8.1.3 非線性Klein-Gordon方程

8.1.4 非線性Schrodinger方程

8.2 Hopf-Cole變換和Hirota方法

8.2.1 Burgers方程的Hopf-Cole變換

8.2.2 KdV方程的廣義Hopf-Cole變換

8.2.3 KdV-Burgers方程的廣義Hopf-Cole變換

8.2.4 Hirota方法

習題八

第九章 格林函數法

9.1 格林公式

9.2 拉普拉斯方程基本解和格林函數

9.2.1 基本解

9.2.2 格林函數

9.3 半空間及圓域上的狄利克雷問題

9.3.1 半空間上狄利克雷問題

9.3.2 圓域上狄利克雷問題

9.4* 一維熱傳導方程和波動方程半無界問題

9.4.1 一維熱傳導方程半無界問題

9.4.2 一維波動方程半無界問題

9.5 試探函數法

習題九

附錄Ⅰ 線性常微分方程解法索引(十三法)

附錄Ⅱ 特殊函數的圖像

附錄Ⅲ 數學物理方程的計算機仿真

附錄Ⅳ 習題參考答案 ^[1]