醫用高等數學

本書根據高等醫藥院校醫學相關專業高等數學課程的基本要求編寫而成。內容包含一元函數積分學、常微分方程、多變量微積分、概率論基礎等知識，具體內容包括函數、極限、導數與微分、一元函數積分學、常微分方程、多元函數微積分、概率論基礎及應用等。本書是醫學生學習高等數學的入門教材。

第一部分 單變量微積分

第一章 函數的極限 1

第一節 函數 1

一、常量與變量 1

二、函數的概念 2

三、函數的性質 3

四、初等函數 4

五、複合函數 7

六、分段函數 8

七、初等函數 8

八、常用的生物曲線——S型曲線 9

第二節 函數的極限 9

一、數列的極限 9

二、函數的極限 11

三、無窮小量與無窮大量 14

四、極限的運算 15

五、兩個重要極限 19

六、無窮小的比較 22

第三節 函數的連續性 24

一、函數連續的概念 24

二、函數的間斷點 25

三、初等函數的連續性 27

四、閉區間上連續函數的性質 29

數學實驗一 30

一、曲線圖 30

二、符號函數(顯函數、隱函數和參數方程)畫圖 30

三、對數座標圖 31

四、空間三維曲線 32

五、空間曲面 32

六、圖形外觀處理 32

習題一 36

第二章 導數和微分 40

第一節 導數的概念 40

一、引例 40

二、導數的概念 41

三、導數的幾何意義 43

四、可導與連續的關係 44

第二節 導數的運算 45

一、導數的四則運算法則 45

二、反函數的求導法則 46

三、複合函數的求導法則 47

四、隱函數導數 48

五、參數方程所確定函數的導數 50

六、高階導數 51

第三節 函數的微分 52

一、微分的概念 52

二、可微的條件 53

三、微分的幾何意義 53

四、微分的運算 54

五、微分在近似計算中的應用 55

第四節 導數的應用 56

一、微分中值定理 56

二、洛必達法則 59

三、函數的單調性與極值 62

四、函數曲線的凹凸性與拐點 67

數學實驗二 72

MATLAB的符號運算 72

習題二 75

第三章 一元函數積分學 80

第一節 不定積分 80

一、不定積分的概念 80

二、不定積分的基本積分公式和運算法則 81

三、換元積分法 83

四、分部積分法 89

五、有理函數的積分 91

第二節 定積分的概念與性質 94

一、定積分的概念 94

二、定積分的基本性質 96

三、微積分基本定理 96

四、定積分的換元積分法和分部積分法 98

五、定積分的應用 100

第三節 廣義積分 103

一、無窮區間上的廣義積分 104

二、無界函數的廣義積分 104

數學實驗三 105

計算積分 105

習題三 107

第二部分 常微分方程

第四章 常微分方程 112

第一節 微分方程的基本概念 112

一、引出微分方程的幾個實例 112

二、微分方程的概念 113

第二節 一階微分方程 113

一、可分離變量的微分方程 114

二、一階線性微分方程 115

三、伯努利方程 117

第三節 可降階的高階微分方程 117

一、型的微分方程 117 ^[2] 

二、型的微分方程 117

三、型的微分方程 118

第四節 二階常係數線性齊次微分方程 119

一、二階線性微分方程解的結構 119

二、二階常係數齊次線性微分方程 120

第五節 醫學數學模型 122

一、生物學模型 122

二、藥物動力學模型 124

三、流行病學模型 124

數學實驗四 125

一、求微分方程符號解 125

二、地中海鯊魚問題 126

習題四 129

第三部分 多變量微積分

第五章 多變量微積分 132

第一節 多元函數簡介 132

一、空間解析幾何簡介 132

二、多元函數的概念 134

三、二元函數的極限與連續 137

第二節 偏導數與全微分 138

一、偏導數的概念及計算 138

二、全微分 139

三、高階偏導數 141

第三節　多元複合函數的偏導數 142

一、複合函數的求導法則 142

二、隱函數的求導法則 144

第四節 二元函數的極值 144

一、二元函數極值的定義 144

二、二元函數的極值判定定理 145

三、條件極值 147

第五節 二重積分的概念和性質 148

一、二重積分的概念 149

二、二重積分的性質 150

第六節 二重積分的計算 151

一、在直角座標系下二重積分的計算 151

二、在極座標系下二重積分的計算 155

數學實驗五 157

一、求多重積分 157

二、二重積分的蒙特卡羅算法 157

習題五 158

第四部分 概率論基礎

第六章 概率論 164

第一節 隨機事件 164

第二節 古典概型 165

第三節 概率的基本性質 166

一、事件的關係和運算 167

二、概率基本公式 168

第四節 分佈理論 174

一、隨機變量和分佈函數 175

二、離散型隨機變量 176

三、常見的離散型概率分佈 178

四、連續型隨機變量 179

五、常見的連續型概率分佈 181

第五節 二維隨機變量及其分佈函數 184

一、聯合分佈函數 184

二、二維離散型隨機變量 184

三、二維連續型隨機變量 185

第六節 隨機變量的數字特徵 187

一、數學期望的概念 187

二、數學期望的性質 188

三、方差的概念 188

四、方差的性質 189

五、常用分佈的數學期望和方差 190

六、變異係數 193

數學實驗六 194

一、概率分佈 194

二、動畫模擬Calton釘板試驗 195

習題六 196

第七章 臨牀決策分析 203

第一節 決策樹模型 203

第二節 診斷試驗評價模型 208

一、常用診斷試驗評價指標 209

二、ROC曲線 211

數學實驗七 212

在MATLAB中進行ROC曲線分析 212

習題七 213

附錄1 MATLAB軟件入門 215

1.1 簡介 215

1.2 安裝 216

1.3 基本操作 217

一、MATLAB中變量的命名規則 217

二、數組 218

三、矩陣 220

四、關係與邏輯運算 220

五、控制流 221

附錄2 泊松分佈表 223 ^[2] 

附錄3 標準正態分佈表 224 ^[1]