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四維導數算子

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在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英語：Laplace operator, Laplacian）是由歐幾里得空間中的一個函數的梯度的散度給出的微分算子，這名字是為了紀念法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天體力學在數學中首次應用算子，當它被施加到一個給定的重力位（Gravitational potential）的時候，其中所述算子給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯算子運算為零∆f=0的函數稱為調和函數，稱為拉普拉斯方程，和代表了在自由空間中的可能的重力場。四維導數算子即在四位空間上的拉普拉斯算子。
中文名
四維導數算子
外文名
Laplace operator on Fourdimensions
領    域
數學

目錄

  1. 1 拉普拉斯算子
  2. 2 定義
  3. 3 座標表示式
  1. ▪ 二維空間
  2. ▪ 三維空間
  3. ▪ N維空間
  4. 4 推廣
  1. ▪ 複雜空間上的實值函數
  2. ▪ 值域為複雜空間

四維導數算子拉普拉斯算子

在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英語：Laplace operator, Laplacian）是由歐幾里得空間中的一個函數的梯度的散度給出的微分算子，通常寫成
、
或
。
這名字是為了紀念法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天體力學在數學中首次應用算子，當它被施加到一個給定的重力位（Gravitational potential）的時候，其中所述算子給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯算子運算為零∆f=0的函數稱為調和函數，稱為拉普拉斯方程，和代表了在自由空間中的可能的重力場。
拉普拉斯算子有許多用途，此外也是橢圓算子中的一個重要例子。
拉普拉斯算子出現描述許多物理現象的微分方程裏。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流體力學以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛定諤方程式中的動能項。
拉普拉斯算子是最簡單的橢圓算子，並且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在圖像處理和計算機視覺中，拉普拉斯算子已經被用於諸如斑點檢測和邊緣檢測等的各種任務。 [1] 

四維導數算子定義

拉普拉斯算子是n維歐幾里得空間中的一個二階微分算子，其定義為對函數
先作梯度運算（
）後，再作散度運算（
）的結果。因此如果
是二階可微的實函數，則
的拉普拉斯算子定義為：
的拉普拉斯算子也是笛卡兒座標系
中的所有非混合二階偏導數：
作為一個二階微分算子，對於k≥ 2，拉普拉斯算子把C函數映射到C函數。表達式定義了一個算子Δ：C(R)→C(R)，或更一般地，定義了一個算子Δ：C(Ω)→C(Ω)，對於任何開集Ω。
函數的拉普拉斯算子也是該函數的海森矩陣的跡：

四維導數算子座標表示式

四維導數算子二維空間

其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒座標
另外極座標的表示法為：

四維導數算子三維空間

笛卡兒座標系下的表示法
圓柱座標系下的表示法
球座標系下的表示法

四維導數算子N維空間

在參數方程為
（其中
以及
）的N維球座標系中，拉普拉斯算子為：
其中
是
維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。我們也可以把
的項寫成
。 [2] 

四維導數算子推廣

四維導數算子複雜空間上的實值函數

拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間，這時它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。
在閔可夫斯基空間中，拉普拉斯算子變為達朗貝爾算子：
達朗貝爾算子通常用來表達克萊因-戈爾登方程以及四維波動方程。第四個項前面的符號是負號，而在歐幾里德空間中則是正號。因子c是需要的，這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量；如果x方向用寸來衡量，y方向用釐米來衡量，也需要一個類似的因子。

四維導數算子值域為複雜空間

向量值函數的拉普拉斯算子
拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義為一個向量，這個向量的各個分量分別為向量值函數各個分量的拉普拉斯，即
更一般地，對沒有座標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恆等式的啓發）：
，也可用類似於拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恆等式．
拉普拉斯－貝爾特拉米算子
主條目：拉普拉斯－貝爾特拉米算子和拉普拉斯－德拉姆算子
拉普拉斯算子也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型算子，稱為拉普拉斯-貝爾特拉米算子。達朗貝爾算子則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型算子。拉普拉斯–貝爾特拉米算子還可以推廣為運行於張量場上的算子（也稱為拉普拉斯–貝爾特拉米算子）。
另外一種把拉普拉斯算子推廣到偽黎曼流形的方法，是通過拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。這便可以通過外森比克恆等式來與拉普拉斯–貝爾特拉米算子聯繫起來。 [3] 
參考資料
  • 1.    Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970.
  • 2.    Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604.
  • 3.    Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979.