微分算子

設E和F為流形M上的光滑復向量叢，Γ(M,E)與Γ(M,F)分別為其截面集合。則m階微分算子D為截面集合間的態射D:Γ(M,E)→Γ(M,F) ^[2]  ，且對M中每點p存在鄰域U，有局部平凡化E|_U=U×

與F|_U=U×

，且

，其中A^α(x)為光滑復值函數組成的q×p矩陣，且存在|α|=m使得A^α≠0。 ^[3] 

（1）微分是線性的，即 ^[1] 

這裏f和g是函數，而a是一個常數。

（2）任何以函數為係數之D的多項式也是一個微分算子。我們也可以通過法則

（3）複合微分算子。需要一些注意：首先算子D₂中的任何函數係數必須具有D₁所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環，我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二，這個環不是交換的：一個算子gD一般與Dg不同。事實上我們有例，如在量子力學中的基本關係：

但這些算子的子環：D的常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫：它由平移不變算子組成。

（4）微分算子也服從移位定理（shift theorem），即

在數學中，微分算子是定義為微分運算之函數的算子。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函數得到另一個函數（以計算機科學中高階函數的方式）。

當然也有理由不單限制於線性算子；例如施瓦茨導數是一個熟知的非線性算子。不過這裏只考慮線性情形。

最常用的微分算子是取導數自身。這個算子的常用記號包括：d/dx,D，這裏關於哪個變量微分是清楚的，以及D_x，這裏指明瞭變量。一階導數如上所示，但當取更高階n-次導數時，下列替代性記號是有用的：dⁿ/dxⁿ,Dⁿ,D_xⁿ。 ^[1] 

記號D的發明與使用歸於奧利弗·亥維賽，他在研究微分方程中考慮瞭如下形式的微分算子

另一個最常見的微分算子是拉普拉斯算子，定義為

另一個微分算子是Θ算子，定義為

有時候這也稱為齊次算子，因為它的本徵函數是關於z的單項式：

在n個變量中齊次算子由

給出。與單變量一樣，Θ的本徵空間是齊次多項式空間。

給定一個線性微分算子T，

，這個算子的伴隨定義為算子

使得

這裏記號

表示數量積或點積。從而此定義取決於數乘的定義。

在平方可積函數空間中，數量積定義為

如果另外增添要求f或g當

等於零，我們也可定義T的伴隨為

此公式不明顯地取決於數量積的定義，故有時作為伴隨算子的一個定義。當

用這個公式定義時，它稱為T的形式伴隨。

一個（形式）自伴算子是與它的（形式）伴隨相等的算子。

如果Ω是R中一個區域，而P是Ω上一個微分算子，則P在L(Ω)中的伴隨由對偶性以類似的方式定義：

對所有光滑L函數f與g。因為光滑函數在L中是稠密的，這在L的一個稠密子集上定義了伴隨：: P是一個稠定算子。

施圖姆-劉維爾算子是形式自伴算子一個熟知的例子。這個二階微分算子L可以寫成如下形式

這個性質可用上面的形式自伴的定義來證明。