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調和函數
鎖定
- 中文名
- 調和函數
- 外文名
- Harmonic function
- 應用學科
- 數學
- 相關術語
- 複變函數
調和函數定義
上式也經常寫作
調和函數還用一個較為弱的定義,但這個定義與上述的定義是等價的。
調和函數例子
二元的調和函數的例子有:
- 函數:f(x1,x2) =exp(x1)sin(x2)。
- n元的調和函數的例子有:
(2)定義在R\ {0}上的函數f(x1,...,xn) = (x1+ ... +xn),其中n≥ 2。
在三元的調和函數的例子前,先定義
以簡化形式。下面表格中的函數在經過數乘(乘以一個常數)、旋轉和相加後仍然會是調和函數。調和函數是由其奇點決定的。調和函數的奇點可以在電磁學中解釋為電荷所在的點,因此相應的調和函數可以看作是某種電荷分佈下的電勢場。
函數 | 奇點 |
---|---|
原點處的點電荷 | |
原點處的x-向電偶極矩 | |
整個z-軸上均勻帶電的線電荷 | |
負的z-軸上均勻帶電的線電荷 | |
整個z-軸上的線性電偶極矩 | |
負的z-軸上的線性電偶極矩 |
調和函數性質
如果f是U上的一個調和函數,那麼f的所有偏導數也仍然是U上的調和函數,在調和函數類上,拉普拉斯算子和偏導數算子是交換的。
收斂的調和函數列的一致極限仍會是調和的。這是因為所有滿足介值性質的連續函數都是調和函數。
調和函數聯繫
一個全純函數的實數和虛數部分都是R上的調和函數。反過來説,對於一個調和函數u,總可以找到一個調和函數v,使得函數u+iv是全純函數。這個函數v被稱為調和函數u的調和共軛。這裏的函數v在差一個常數的意義上是唯一定義的。這個結果在希爾伯特變換中有應用,也是數學分析中一個與奇異積分算子有關的基本例子。在幾何意義上,u和v可以被看作具有正交的關係。如果畫出兩者的等值線,那麼兩條線在交點處正交(兩條切線成直角)。在這種視角下,函數u+iv可以被看作一種“復位勢場”,其中u是一個位勢函數,而v是流函數。
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調和函數規則性的理論
調和函數總是無窮次可導(光滑)的。事實上,調和函數是實解析函數的一種。
調和函數極大值定理
調和函數滿足以下的極大值定理:如果K是U的一個緊子集,那麼f在K上誘導的函數只能在邊界上達到其最大值和最小值。如果U是連通的,那麼這個定理意味着f不能達到最大值和最小值,除非它是常數函數。對於次調和函數也有同樣的定理。
調和函數介值性質
設B(x,r)是一個以x為中心,以r為半徑的完全在U中的球,那麼調和函數f(x)球的邊界上取值的平均值和f在球的內部的取值的平均值相同。也就是説:
其中
表示n維的單位球面。
調和函數劉維爾定理
如果f在整個R都有定義的調和函數,並且在其上有最大值或最小值,那麼函數f是常數函數(參見複平面上函數的劉維爾定理)。
調和函數推廣
調和函數研究的一個推廣是黎曼流形上的調和形的研究,後者與上同調的研究有關。此外,可以定義調和的向量值函數,或者兩個黎曼流形間的調和映射。這些調和映射出現在最小表面理論中。比如説,一個從R上區間 射到一個黎曼流形的映射是調和的當且僅當它是一條短程線。
調和函數“重調和”方程
若u(x,y)滿足“重調和”方程