克萊因-戈爾登方程

克萊因-戈爾登方程（Klein-Gordon equation）是相對論量子力學和量子場論中的最基本方程，它是薛定諤方程的相對論形式，用於描述自旋為零的粒子。克萊因-戈爾登方程是由瑞典理論物理學家奧斯卡·克萊因和德國人沃爾特·戈爾登於二十世紀二三十年代分別獨立推導得出的。

克萊因-戈爾登方程為 ^[1] 

很多時候會用自然單位（c=ħ=1）寫成

由於平面波為此方程已知的一組解，所以方程形式由它決定：

遵從狹義相對論的能量動量關係式

跟薛定諤方式不同，每一個k在此都對應着兩個

，只有通過把頻率的正負部分分開，才能讓方程描述到整個相對論形式的波函數。若方程在時間流逝下不變，則其形式為

自由粒子的薛定諤方程是非相對論量子力學的最基本方程： ^[2] 

其中

是動量算符。

薛定諤方程並非相對論協變的，意味着它不滿足愛因斯坦的狹義相對論。

利用狹義相對論中四維動量的不變性導出的相對論動量能量關係，相對論能量

替換薛定諤方程左邊自由粒子的動能

，並最終得到它的協變形式

其中

達朗貝爾算符為：

從相對論量子力學的觀點來看，達朗貝爾算符的出現意味着克萊因-戈爾登方程是一個量子力學的波方程。

場論中，對於自旋為零的場（標量場），拉格朗日量被寫成

這裏依照量子場論的習慣選取了自然單位，將光速c和普朗克常數

都取作1。

代入歐拉-拉格朗日方程可直接得到克萊因-戈爾登方程。

從量子場論的觀點來看，以上推導過程都在經典場論的範圍之內，因此克萊因-戈爾登方程只是一個經典場的場方程。

相對論量子力學中自由粒子只是一個理想化的概念，但形如克萊因-戈爾登方程這樣的波方程仍然具有形式上的波包解：

其中

。

從克萊因-戈爾登方程得出的能量本徵值為

因而克萊因-戈爾登方程的解包含了負能量。同時，由這個解導出相應的概率密度也不能保證是正值。這兩個問題使得克萊因-戈爾登方程在很長一段時間裏被認為是缺乏物理意義的.英國物理學家保羅·狄拉克為了確保概率密度具有物理意義建立了狄拉克方程，但這個方程仍然沒有避免出現負能量。從那時起物理學家們逐漸意識到負能量的出現實際上意味着反粒子的存在。