狄拉克方程

為了避免克萊因-高登方程中概率不守恆的問題，狄拉克在假設方程關於時間與空間的微分呈一次關係後得出了有名的狄拉克方程。但該方程仍無法避免得出負能量解的問題。但是負能級的解是成立的，根據泡利不相容原理，狄拉克認為所有的負能級都已經被電子佔據，所以阻止了正能級電子向負能級躍遷，這就是費米子海，也叫狄拉克之海。根據以上猜想可推出正電子等的存在。

既然實驗已充分驗證了狄拉克方程的正確，人們自然期望利用狄拉克方程預言新的物理現象。按照狄拉克方程給出的結果，電子除了有能量取正值的狀態外，還有能量取負值的狀態，並且所有正能狀態和負能狀態的分佈對能量為零的點是完全對稱的。自由電子最低的正能態是一個靜止電子的狀態，其能量值是一個電子的靜止能量，其他的正能態的能量比一個電子的靜止能量要高，並且可以連續地增加到無窮。與此同時，自由電子最高的負能態的能量值是一個電子靜止能量的負值，其他的負能態的能量比這個能量要低，並且可以連續地降低到負無窮。

這個結果表明：如果有一個電子處於某個正能狀態，則任意小的外來擾動都有可能促使它跳到某個負能狀態而釋放出能量。同時由於負能狀態的分佈包含延伸到負無窮的連續譜，這個釋放能量的躍遷過程可以一直持續不斷地繼續下去，這樣任何一個電子都可以不斷地釋放能量，成為永動機，這在物理上顯然是完全不合理的。所以狄拉克大膽猜測所有的負能態都已經被電子佔據，而泡利不相容原理則會阻止正能態的電子向已經被完全佔據的負能態躍遷。這個猜想實際上説明了物質被“浸泡”在費米子（如電子）的“海洋”中，也就是狄拉克之海。詳見後文的空穴理論以及相關文獻。

針對這個矛盾，1930年狄拉克提出一個理論，被稱為空穴理論。這個理論認為由於電子是費米子，滿足泡利不相容原理，每一個狀態最多隻能容納一個電子，物理上的真空狀態實際上是所有負能態都已填滿電子，同時正能態中沒有電子的狀態。因為這時任何一個電子都不可能找到能量更低的還沒有填入電子的能量狀態，也就不可能跳到更低的能量狀態而釋放出能量，也就是説不能輸出任何信號，這正是真空所具有的物理性質。

按照這個理論，如果把一個電子從某一個負能狀態激發到一個正能狀態上去，需要從外界輸入至少兩倍於電子靜止能量的能量。這表現為可以看到一個正能狀態的電子和一個負能狀態的空穴。這個正能狀態的電子帶電荷-e，所具有的能量相當於或大於一個電子的靜止能量。按照電荷守恆定律和能量守恆定律的要求，這個負能狀態的空穴應該表現為一個帶電荷為+e的粒子，這個粒子所具有的能量應當相當於或大於一個電子的靜止能量。這個粒子的運動行為是一個帶正電荷的“電子”，即正電子。狄拉克的理論預言了正電子的存在 ^[1]  。

1932年美國物理學家安德森（Carl David Anderson）在宇宙線實驗中觀察到高能光子穿過重原子核附近時，可以轉化為一個電子和一個質量與電子相同但帶有的是單位正電荷的粒子，從而發現了正電子，狄拉克對正電子的這個預言得到了實驗的證實。正電子的發現表明對於電子來説，正負電荷還是具有對稱性的。狄拉克的空穴理論給出了反粒子的概念，正電子是電子的反粒子。