函數的連續性

一元連續函數　設函數f(x)在x＝α附近（包括x=α處）有定義。若 ，　　　 (*)亦即：對任給ε＞0，必有 δ＞0存在，使當｜ x- x 0｜＜ δ時，恆有｜ f( x)- f( α)｜＜ε，則稱 f( x)在 x＝ α處 連續， α為 f( x) 的 連續點。 　　如在(*)中，x→α改為x→α-0或x→α+0，即限定x＜α或x＞α，則稱f(x)在x=α處左連續或右連續。顯然f(x)在x=α處連續的必要充分條件為它在α處左、右都連續。 　　如 存在，但 A≠ f( α)或 f( α)沒有意義，則稱 f( x)在 α處為可去間斷（可去不 連續），因為這時只要改變或補充定義 f( α)使其等於 A就可使它變得在 α處 連續；因此，這種不 連續常常算作是 連續 的。如果 x→ α時，則稱 f( x)在 α處有第一類間斷， B- A稱為其躍度。不屬於上述情況 的不 連續點都稱為第二類間斷。 　　如果f(x)在一開區間(α，b)內每一點都連續，則稱f(x)在開區間(α，b)內連續。f(x)在一閉區間[α，b]上連續是指：在開區間(α，b)內連續，而在α處右連續和b處左連續。 　　由此可確切定義幾何名詞連續曲線。設平面曲線C可寫成參數方程 x=x(t)，y=y(t) (α≤t≤β)， 其中 x( t)、 y( t)都是[ α， β]上的連續函數，則稱 C是 連續曲線。此定義顯然可推廣到空間曲線甚至一般 的 n維空間中 的曲線上去。 　　連續函數的性質　 　　① 如f(x)、g(x)都在x=α處連續，則f(x)±g(x)，f(x)g(x)， （只要 g( α)≠0）也在 x= α處 連續。 　　② 如f(x)在x=α處連續，且f(α)≠0，則必在x＝α的某一小δ鄰域（即|x-α|＜δ）中，f(x)不變號，即f(x)與f(α)同號。 　　③ 在閉區間上的連續函數，必有上界和下界，且有最大值和最小值，並能取最小值和最大值之間的一切中間值。 　　還可證明，所有初等函數在其有定義的區間上都是連續的。 　　設I為一閉或開的區間，如果任給ε＞0，必有δ＞0存在，使對I中任何兩點x，x′，只要|x-x′|＜δ，便有｜f(x)-f(x′)|＜ε，則稱f(x)在I上一致連續。關於一致連續性有下面的重要定理：在閉區間上的連續函數一定在該區間上一致連續。這一定理有時稱作康托爾定理。 　　多元連續函數　設 為一 n元 函數，這裏 x=( x 1， x 2，…， x n)為 n維向量或 n維空間中一點，而 α=( α 1， α 2，…， α n)為一定點。如果(1)式成立，亦即對任給ε＞0，必有 δ＞0存在，使當 或者 時，恆有 ｜f(x)-f(α)｜＜ε ，則稱 f( x)在 α處 連續。也可類似地定義 f( x)在 n維區域 G中 連續和一致 連續。不過，當 α是 f( x)定義域 G邊界上 的一點時，在上面定義中要限制 x在 G及其邊界上。 　　一元連續函數的上述性質都可推廣到多元函數上來，康托爾定理這時也成立，不過在其中區間I要換成有界閉區域。和連續曲線類似，也可定義連續曲面等等。 　　以上連續函數的定義也可推廣到復變量的複函數上來（見複變函數）。 　　連續函數的定義還可推廣到一般抽象的拓撲空間的情況。設X，Y是兩個拓撲空間，f：X→Y是把X映入Y的一個映射，又α∈X，如果對於fα∈Y的任一鄰域 ，存在着 α 的一鄰域 U α，使 ， 則稱 f在 α點 連續。如果 f在 X中 的每一點都 連續，則稱 f為 X到 Y 的一 連續映射。 ^[1]