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康托爾定理
鎖定
康托爾定理(Cantor's Theorem)：用P(X)記X的一切子集構成的集，用cardX表示X的勢，則cardX < cardP(X)。康托爾定理指的是在Zermelo-Fränkel集合論中，聲稱任何集合A的冪集（所有子集的集合）的勢嚴格大於A的勢。康托爾定理對於有限集合是明顯的，但是令人驚奇的是它對於無限集合也成立。特別是，可數無限集合的冪集是不可數無限的。要展示康托爾定理的對於無限集合的有效性，只需要測試一下下面證明中無限集合。
- 中文名
- 康托爾定理
- 外文名
- Cantor's Theorem
- 提出者
- 康托爾
- 提出時間
- 1891年
- 適用領域
- 數理科學
康托爾定理證明
康托爾定理性質
函數
為一個滿射，當且僅當存在一個函數
滿足
等於
上的恆等函數。（這個陳述等價於選擇公理。）
如果
是滿射，則
是滿射。
如果
和
皆為滿射，則
為滿射。
任意函數
都可以分解為一個適當的滿射
和單射
，使得
。
如果
和
皆為具有相同元素數的有限集合，則
是滿射當且僅當
是單射。
康托爾定理發展簡史
康托爾在1891年發表的論文"Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre"中本質上給出了這個證明，實數不可數的對角論證法也首次在這裏出現。在這個論文中給出的這個論證的版本使用的是在集合上的指示函數而不是集合子集。他證明了如果f是定義在X上的函數，它的值是在X上的二值函數，則二值函數G(x) = 1 −f(x)(x) 不在f的值域中。
羅素在《數學原理》(1903, section 348)中給出了一個非常類似的證明，在這裏他證明了命題函數要比對象多。“假設所有對象和所有和它們相關的命題函數之間有一種對應，並令phi-x為x所對應的命題函數。則'非-phi-x(x)'，也即"phi-x對於x不成立",是一個在這個對應中沒有出現的命題函數；因為它在phi-x假的時候為真，在phi-x真的時候為假，因此它和任何一個x所對應的phi-x不同”。他在康托爾之後貢獻了這個想法。
恩斯特·策梅洛在他 1908 年發表的成為現代集合論基礎的論文"Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I"中有一個定理（他稱之為康托爾定理）同於上面的論證形式。
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