齊性空間

一個齊性空間是一個G作用傳遞的G空間。

簡明地説，如果X是範疇C中一個對象，則一個G-空間結構是G到範疇C中對象X的自同構羣一個同態：

若

是承載集合X的一個傳遞的、對稱羣，則二元組

定義了一個齊性空間 ^[1]  。

設H為拓撲羣G的子羣，則商空間G/H稱為齊性空間。

齊性空間G/H為豪斯多夫空間，當且僅當H為G中閉集。 ^[4] 

設X是一個非空集合，G是一個羣。如果存在G在X上一個作用，則X稱為一個G空間。注意G通過自同構自動作用在這個集合上。如果X還額外屬於某一個範疇，則要求G中元的作用是這個範疇中的自同構。從而由G在X上產生的映射保持結構。

在數學，特別是李羣、代數羣與拓撲羣的理論中，關於羣G的一個齊性空間是一個非空流形或拓撲空間X，G可傳遞性作用在X上，G中的元素稱之為X的對稱。一個特例是羣G就是空間X的自同構羣，這裏自同構羣可以是等矩同構羣、微分同胚羣或是同胚羣。在這些例子中，如果直覺想成X於任何地方局部看起來一樣，則X是齊性空間。像是等矩同構（剛體幾何）、微分同胚（微分幾何）或是同胚（拓撲）。一些作者要求G的作用是有效的，不過本文並不要求這樣。從而X上存在可以想象為保持X上相同“幾何結構”的一個羣作用，使X成為一個單G軌道。

例如，若X是一個拓撲空間，則要求羣元素在X上的作用是自同胚。G-空間的結構是到X自同胚羣的一個羣同態

類似地，如果X是一個微分流形，則羣元素是微分同胚。G-空間結構是到X微分同胚羣的一個羣同態

n+1維實正交羣O(n+1)在球面Sⁿ的作用是傳遞的，故Sⁿ是O(n+1)羣的齊性空間，穩定子羣為O(n)。

n+1維實特殊正交羣SO(n+1)在球面Sⁿ的作用是傳遞的，故Sⁿ是SO(n+1)羣的齊性空間，穩定子羣為SO(n)。 ^[3] 

一般地，如果X是一個齊性空間，而

是X中某一給定點

的穩定子（選取一個原點），X中的點對應於左陪集

。

選取不同的原點

一般將得到

商去一個不同子羣

，它與

相差一個的內自同構。準確地，

這裏

是

中任何元素使得。注意內自同構與

的選取無關，只取決與

模去

。

如果

在X上的作用連續，則

是

的一個閉子羣。特別地，如果

是一個李羣，則由嘉當定理

是一個閉李子羣。從而

是一個光滑流形，並且X帶有與這個羣作用相容惟一的光滑結構 ^[2]  。

如果

是恆同子羣

，則X是一個主齊性空間。

準齊性向量空間

準齊性向量空間概念由佐藤幹夫提出。

它是帶有一個代數羣G作用的有限維向量空間X，使得存在G的一個軌道在扎里斯基拓撲下是開集（從而稠密）。一個例子是

作用在一維空間空間上。

這個定義比它最初出現時更加嚴格：這樣的空間具有不尋常的性質，不可約準齊性向量空間在相差一個稱之為“castling”的轉換下存在一個分類。

凡用到廣義相對論的宇宙學都會使用比安基分類系統。相對論中的齊性空間代表某種宇宙模型的背景度量的空間部分；例如弗裏德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度量的三個案例可以用比安基

（平坦），

（開），

（平坦或開）與

（閉）型子集來代表，而Mixmaster universe代表一個比安基IX型宇宙的各向異性例子。

一個N維齊性空間允許一個由

基靈向量場組成的集合。三維時，總共給出了六個線性無關的基靈向量場；齊性3-空間可以使用這些向量場的線性組合，來尋找在任何地方都非零的基靈向量場

，

這裏

為“結構常數”，是一個常秩-3張量，兩個下指標反對稱，

表示共變微分算子。在一個平坦各向同性宇宙情形，可能有

（I型），但在閉FLRW宇宙情形，

這裏

是列維-奇維塔符號。