高觀點下的初等數學

菲利克斯·克萊因是19世紀末20世紀初世界最有影響力的數學學派——哥廷根學派的創始人，他不僅是偉大的數學家，也是現代國際數學教育的奠基人、傑出的數學史家和數學教育家，在數學界享有崇高的聲譽和巨大的影響。

克萊因認為函數為數學的”靈魂”。應該成為中學數學的“基石”，應該把算術、代數和幾何方面的內容，通過幾何的形式用以函數為中心的觀念綜合起來；強調要用近代數學的觀點來改造傳統的中學數學內容，主張加強函數和微積分的教學，改革和充實代數的內容，倡導”高觀點下的初等數學”意識。在克萊因看來，一個數學教師的職責是：”應使學生了解數學並不是孤立的各門學問，而是一個有機的整體”；基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視。理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明瞭而簡單；一個稱職的教師應當掌握或瞭解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程以及數學教育演化的經過。他認為”有關的每一個分支，原則上應看做是數學整體的代表”，“有許多初等數學的現象只有在非初等的理論結構內才能深刻地理解”。

本書對我國從事數學學習和數學教育的廣大讀者具有較好的啓示作用，用本書譯者之一，我國數學家、數學教育家吳大任先生的話來説，”所有對數學有一定了解的人都可以從中獲得教益和啓發”，此書”讀來仍然感到十分親切。這是因為，其內容主要是基礎數學，其觀點藴含着真理……”。

菲利克斯·克萊因是19世紀末20世紀初世界最有影響力的數學學派——哥廷根學派的創始人，他不僅是偉大的數學家，也是現代國際數學教育的奠基人、傑出的數學史家和數學教育家，在數學界享有崇高的聲譽和巨大的影響。 ^[1] 

第一卷 目錄

博洽內容獨特風格

——《高觀點下的初等數學》導讀 吳大任

紀念克萊因

——介紹《高觀點下的初等數學》 齊民友

第一版序

第三版序

英文版序

前言

第一部分 算術

第一章 自然數的運算

§1.1 學校裏數的概念的引入

§1.2 運算的基本定律

§1.3 整數運算的邏輯基礎

第二章 數的概念的第一個擴張

§2.1 負數

§2.2 分數

§2.3 無理數

第三章 關於整數的特殊性質

第四章 複數

§4.1 通常的複數

§4.2 高階複數，特別是四元數

§4.3 四元數的乘法——旋轉和伸展

§4.4 中學複數教學

附：關於數學的現代發展及一般結構

第二部分 代數

第五章 含實未知數的實方程

§5.1 含一個參數的方程

§5.2 含兩個參數的方程

§5.3 含3個參數λ，μ，ν的方程

第六章 複數域方程

§6.1 代數的基本定理

§6.2 含一個復參數的方程

第三部分 分析

第七章 對數函數與指數函數

§7.1 代數分析的系統討論

§7.2 理論的歷史發展

§7.3 中學裏的對數理論

§7.4 函數論的觀點

第八章 角函數

§8.1 角函數理論

§8.2 三角函數表

§8.3 角函數的應用

第九章 關於無窮小演算本身

§9.1 無窮小演算中的一般考慮

§9.2 泰勒定理

§9.3 歷史的與教育學上的考慮

附錄

Ⅰ.數e和π的超越性

Ⅱ.集合論

第二卷 目錄

第一版序

第三版序

英文版序

前言

第四部分 最簡單的幾何流形

第十章 作為相對量的線段、面積與體積

第十一章 平面上的格拉斯曼行列式原理

第十二章 格拉斯曼空間原理

第十三章 直角座標變換下空間基本圖形的分類

第十四章 導出的流形

第五部分 幾何變換

第十五章 仿射變換

第十六章 投影變換

第十七章 高階點變換

§17.1 反演變換

§17.2 某些較一般的映射投影

§17.3 最一般的可逆單值連續點變換

第十八章 空間元素改變而造成的變換

§18.1 對偶變換

§18.2 相切變換

§18.3 某些例子

第十九章 虛數理論

第六部分 幾何及其基礎的系統討論

第二十章 系統的討論

§20.1 幾何結構概述

§20.2 關於線性代換的不變量理論

§20.3 不變量理論在幾何學上的應用

§20.4 凱萊原理和仿射幾何及度量幾何的系統化

第二十一章 幾何學基礎

§21.1 側重運動的平面幾何體系

§21.2 度量幾何的另一種發展體系——平行公理的作用

§21.3 歐幾里得的《幾何原本》

第三卷 目錄

譯者的話

第一版序

第三版序

前言

第七部分 實變函數及其在直角座標下的表示法

第二十二章 關於單個自變數x的闡釋

§22.1 經驗準確度與抽象準確度，現代實數概念

§22.2 精確數學與近似數學，純粹幾何中亦有此分野

§22.3 直觀與思維，從幾何的不同方面説明

§22.4 用關於點集的兩個定理來闡明

第二十三章 單變數x的函數y=f（x）

§23.1 函數的抽象確定和經驗確定（函數帶概念）

§23.2 關於空間直觀的引導作用

§23.3 自然規律的準確度（附關於物質構成的不同觀點）

§23.4 經驗曲線的屬性：連通性、方向、曲率

§23.5 關於連續函數的柯西定義和經驗曲線類似到什麼程度？

§23.6 連續函數的可積性

§23.7 關於最大值和最小值的存在定理

§23.8 4個廣義導數

§23.9 魏爾斯特拉斯不可微函數；它的形象概述

§23.10 魏爾斯特拉斯函數的不可微性

§23.11 “合理”函數

第二十四章 函數的近似表示

§24.1 用合理函數近似表示經驗曲線

§24.2 用簡單解析式近似表示合理函數

§24.3 拉格朗日插值公式

§24.4 泰勒定理和泰勒級數

§24.5 用拉格朗日多項式近似表示積分和導函數

§24.6 關於解析函數及其在闡釋自然中的作用

§24.7 用有盡三角級數插值法

第二十五章 進一步闡述函數的三角函數表示

§25.1 經驗函數表示中的誤差估計

§25.2 通過最小二乘法所得的三角級數插值

§25.3 調和分析儀

§25.4 三角級數舉例

§25.5 切比雪夫關於插值法的工作

第二十六章 二元函數

§26.1 連續性

§26.2 偏導次序的顛倒實例

§26.3 用球函數級數近似表示球面上的函數

§26.4 球函數在球面上的值分佈

§26.5 用有盡球函數級數作近似表示的誤差估計

第八部分 平面曲線的自由幾何

第二十七章 從精確理論觀點討論平面幾何

§27.1 關於點集的若干定理

§27.2 通過對兩個或多個不相交圓的反演所產生的點集

§27.3 極限點集的性質

§27.4 二維連續統概念、一般曲線概念

§27.5 覆蓋整個正方形的皮亞諾曲線

§27.6 較狹義的曲線概念：若當曲線

§27.7 更狹義的曲線概念：正則曲線

§27.8 用正則理想曲線近似表示直觀曲線

§27.9 理想曲線的可感知性

§27.10 特殊理想曲線：解析曲線與代數曲線，代數曲線的格拉斯曼幾何產生法

§27.11 用理想圖形表現經驗圖形；佩雷觀點

第二十八章 繼續從精確理論觀點討論平面幾何

§28.1 對兩個相切圓的相繼反演

§28.2 對3個循環相切圓的相繼反演（“模圖形”）

§28.3 4個循環相切圓的標準款

§28.4 4個循環相切圓的一般款

§28.5 所得非解析曲線的性質

§28.6 這整個論述的前提，韋龍尼斯的進一步理想化

第二十九章 轉入應用幾何：A. 測量學

§29.1 一切實際度量的不準確性，斯涅尼奧斯課題的實踐

§29.2 通過多餘的度量來確定準確度，最小二乘法的原則闡述

§29.3 近似計算，用關於球面小三角形的勒讓德定理來説明

§29.4 地球參考橢面上最短線在測量學中的意義（附關於微分方程論的假設）

§29.5 關於水準面及其實際測定

第三十章 續論應用幾何：B.作圖幾何

§30.1 關於作圖幾何中一種誤差理論的假設，用帕斯卡定理的作圖説明

§30.2 由經驗圖形推導理想曲線性質的可能性

§30.3 對代數曲線的應用，將要用到的關於代數的知識

§30.4 提出所要證明的定理：w′+2t″=n（n－2）

§30.5 證明中將採用的連續性方法

§30.6 有與無二重點的Cn之間的轉化

§30.7 符合定理的偶次曲線舉例

§30.8 奇次曲線的例子

§30.9 舉例説明證明中的連續性方法，證明的完成

第九部分 用作圖和模型表現理想圖形

§1 無奇點撓曲線，特殊地，C3的形狀（曲線的投影及其切線曲面的平面截線）

§2 撓曲線的7種奇點

§3 關於無奇點曲面形狀的一般討論

§4 關於F3的二重點，特別是它的二切面重點和單切面重點

§5 F3的形狀概述

呼籲： 通過觀察自然，不斷修訂傳統科學結論

人名譯名對照

譯後記