希爾伯特曲線

1890年，意大利數學家皮亞諾（Peano G）提出能填滿一個正方形的曲線，叫做皮亞諾曲線。後來，由希爾伯特作出了這條曲線，又名希爾伯特曲線。皮亞諾對區間[0，1]上的點和正方形上的點的對應作了詳細的數學描述。實際上，正方形的這些點對於t∈[0,1],可規定兩個連續函數x=f（t）和y=g（t），使得x和y取屬於單位正方形的每一個值。 ^[1] 

希爾伯特曲線是一種能填充滿一個平面正方形的分形曲線（空間填充曲線），由大衞·希爾伯特在1891年提出。

由於它能填滿平面，它的豪斯多夫維是2。取它填充的正方形的邊長為1，第n步的希爾伯特曲線的長度是2ⁿ - 2^-n。

L系統記法：

變數: L, R

常數: F, +, -

公理: L

規則:

L → + R F - L F L - F R +

R → − L F + R F R + F L −

F ： 向前

- ： 右轉90°

+ ： 左轉90°

一般來説，一維的東西是不可能填滿2維的方格的。但是皮亞諾曲線恰恰給出了反例。這説明我們對維數的認識是有缺陷的，有必要重新考察維數的定義。這就是分形幾何考慮的問題。在分形幾何中， 維數可以是分數叫做分維。

此外，希爾伯特曲線是連續的但處處不可導的曲線。因此如果我們想要研究傳統意義上的曲線， 就必須加上可導的條件，以便排除像皮亞諾曲線這樣的特例。

皮亞諾曲線（希爾伯特曲線）構造方法如圖1所示：取一個正方形並且把它分出9個相等的小正方形，然後從左下角的正方形開始至右上角的正方形結束，依次把小正方形的中心用線段連接起來；下一步把每個小正方形分成9個相等的正方形，然後上述方式把其中中心連接起來……將這種操作手續無限進行下去，最終得到的極限情況的曲線就可以填滿整個平面

1877年，數學家康託提出了從一維到二維的映射，後來這個結論得到了另外一些數學家的支持，包括皮亞諾、希爾伯特等。但也有一些數學家對此持懷疑或反對的態度。最著名的就是與康託一起對實數做出定義的數學家戴德金，他對康託的結論一直持反對意見，並指出了康託最初證明中的一些錯誤。另外，後來戴德金又證明，如果平面和直線之間的對應是連續的，則不可能是一一對應。

下面一種觀點認為，皮亞諾曲線等是和實數的不可數性相矛盾的。

關於康託的集合論，羅素於1901年提出了一個悖論，指出一個包含自己的集合將導致邏輯上的混亂。分析發現，在康託對實數的定義中也包含了羅素悖論。康託對實數的定義是：

“1872年，康託在一篇文章中，用一章的篇幅專門討論實數問題，特別是無理數問題。他為自己提出了一個目標，在不預先假定無理數存在的條件下，建立一個令人滿意的無理數理論。顯然，全體的有理數集合為此提供了一個基礎。康託用有理數的無窮序列來定義無理數及它們之間的順序關係。

1877年，康託給出了從一維到二維的一一映射。皮亞諾和希爾伯特分別於1890年和1891年給出了一種可以充滿整個平面的曲線。

希爾伯特曲線由一個大正方形分成9個小正方形，再不斷的把每個小正方形分成更小的正方形得到的邊組成的曲線。這實際上是一個遞歸過程。也可認為希爾伯特曲線是在上面基礎上把小正方形的中心點連接起來得到的曲線。這兩種表示方法在本節的討論中並沒有區別，在下面的過中位線作截線的過程中可以發現，這兩種曲線與截線的交點是一一對應的。

能不能仿照康託從有理數集出發去定義無理數集的例子，藉助希爾伯特曲線來建立一種從曲線到平面的一一映射呢？希爾伯特曲線中的編碼映射就是這樣的一個例子。

希爾伯特曲線通過把一個正方形不斷大的分成4個小正方形，再把小正方形的中心點連接起來得到的曲線，即希爾伯特曲線。

在希爾伯特曲線的編碼映射中，對分成的4個小正方形按順時針順序進行二進制編碼，為0.00，0.01，0.10，0.11。後面的分裂同樣在前面編碼的基礎上加上2位二進制小數，如第一格第二次分裂後，得到的4個小正方形編碼為0.0000，0.0001，0.0010，0.0011。這樣就給正方形中的每個點一個[0,1]中的編碼，也就是完成了從1×1的平面到[0,1]區間的一一映射。

這種觀點指出，在康託用有理數的基本序列去定義實數中，實數域中的一個有理數a按定義等於序列，這實際上構造了一個包含自指的集合：數a等於一個集合，這個集合中有一個元素，就是數a本身。這樣的集合包含了羅素悖論。本文還分析了皮亞諾曲線等一維到二維映射的例子，指出它們實際上也包含了上述悖論。