數值計算方法

本書介紹了數值計算方法．內容涉及數值計算方法的數學基礎、數值計算方法在工程、科學和數學問題中的應用以及所有數值方法的MATLAB 程序等，涵蓋了經典數值分析的全部內容．包括：非線性方程的數值解法；線性方程組的數值解法；矩陣特徵值與特徵向量的數值算法；插值方法；函數最佳逼近；數值積分；數值微分；常微分方程數值解法等．基於MATLAB是本書的特色，對書中所有的數值方法都給出了MATLAB程序，有大量詳實的應用實例可供參考，有相當數量的習題可供練習。 本書取材新穎、闡述嚴謹、內容豐富、重點突出、推導詳盡、思路清晰、深入淺出、富有啓發性，便於教學與自學。 ^[1] 

第1章 序論 1

1.1 科學計算的一般過程 1

1.1.1 對實際工程問題進行數學建模 1

1.1.2 對數學問題給出數值計算方法 1

1.1.3 對數值計算方法進行程序設計 1

1.1.4 上機計算並分析結果 2

1.2 數值計算方法的研究內容與特點 2

1.2.1 數值計算方法的研究內容 2

1.2.2 數值計算方法的特點 2

1.3 計算過程中的誤差及其控制 5

1.3.1 誤差的來源與分類 5

1.3.2 誤差與有效數字 6

1.3.3 誤差的傳播 8

1.3.4 誤差的控制 9

1.3.5 數值算法的穩定性 11

1.3.6 病態問題與條件數 11

習題1 12

第2章 非線性方程的數值解法 13

2.1 二分法 13

2.1.1 二分法的基本思想 13

2.1.2 二分法及MATLAB 程序 13

2.2 非線性方程求解的迭代法 17

2.2.1 迭代法的基本思想 17

2.2.2 不動點迭代法及收斂性 17

2.2.3 迭代過程的加速方法 23

2.2.4 Newton-Raphson方法 31

2.2.5 割線法與拋物線法 40

2.3 非線性方程求解的MATLAB 函數 43

2.3.1 MATLAB中求方程根的函數 43

2.3.2 用MATLAB中的函數求方程的根 43

習題2 44

第3章 線性方程組的數值解法 47

3.1 向量與矩陣的範數 47

3.1.1 向量的範數 47

3.1.2 矩陣的範數 49

3.1.3 方程組的性態條件數與攝動理論 52

3.2 直接法 54

3.2.1 Gauss 消去法及MATLAB程序 54

3.2.2 矩陣的三角(LU) 分解法 66

3.2.3 矩陣的Doolittle 分解法及MATLAB程序 68

3.2.4 矩陣的Crout 分解法 73

3.2.5 對稱正定矩陣的Cholesky分解及MATLAB程序 75

3.2.6 解三對角方程組的追趕法及MATLAB程序 79

3.3 迭代法 81

3.3.1 迭代法的一般形式 81

3.3.2 Jacobi 迭代法及MATLAB程序 82

3.3.3 Gauss-Seidel 迭代法及MATLAB程序 85

3.3.4 超鬆弛迭代法及MATLAB程序 90

3.3.5 共軛梯度法及MATLAB程序 93

3.4 迭代法的收斂性分析 97

3.4.1 迭代法的收斂性 98

3.4.2 迭代法的收斂速度與誤差分析 99

習題3 100

第4章 矩陣特徵值與特徵向量的數值算法 104

4.1 預備知識 104

4.1.1 Householder變換和Givens變換 104

4.1.2 Gershgorin圓盤定理 107

4.1.3 QR分解 108

4.2 乘冪法和反冪法 109

4.2.1 乘冪法及MATLAB程序 109

4.2.2 乘冪法的加速 114

4.2.3 反冪法及MATLAB程序 116

4.3 Jacobi方法(對稱矩陣) 118

4.3.1 Jacobi方法及MATLAB程序 118

4.3.2 Jacobi 方法的收斂性 121

4.4 Householder方法 122

4.4.1 一般實矩陣約化為Hessenberg矩陣 122

4.4.2 實對稱矩陣的三對角化 125

4.4.3 求三對角矩陣特徵值的二分法 125

4.4.4 三對角矩陣特徵向量的計算 126

4.5 QR 方法 127

4.5.1 基本的QR 方法 127

4.5.2 QR 方法的收斂性 129

4.5.3 帶原點位移的QR 方法 131

4.5.4 單步QR 方法計算上Hessenberg矩陣特徵值 132

4.5.5 雙步QR方法 132

4.6 基於MATLAB 的QR 分解 132

習題4 133

第5章 插值方法 136

5.1 插值多項式及存在唯一性 136

5.1.1 插值多項式的一般提法 136

5.1.2 插值多項式存在唯一性 137

5.2 Lagrange 插值 138

5.2.1 Lagrange 插值多項式 138

5.2.2 線性插值與拋物線插值 139

5.2.3 Lagrange 插值的MATLAB程序 140

5.2.4 Lagrange插值餘項與誤差估計 142

5.3 Aitken 和Neville 插值 144

5.3.1 Aitken 逐步線性插值 145

5.3.2 Neville 逐步線性插值 145

5.4 差商與Newton 插值 145

5.4.1 差商及其性質 146

5.4.2 Newton 插值多項式 147

5.4.3 Newton插值餘項與誤差估計 149

5.4.4 Newton 插值的MATLAB程序 149

5.5 差分與等距節點的Newton 插值 151

5.5.1 差分及其性質 151

5.5.2 等距節點Newton插值多項式 153

5.5.3 等距節點Newton 插值的MATLAB程序 154

5.6 Hermite 插值 156

5.7 分段低次插值 158

5.7.1 高次插值的Runge 現象及MATLAB程序 158

5.7.2 分段線性插值及MATLAB程序 159

5.7.3 分段三次Hermite 插值及MATLAB程序 162

5.8 三次樣條插值 165

5.8.1 三次樣條函數 165

5.8.2 三轉角插值函數(方程) 及MATLAB程序 168

5.8.3 三彎矩插值函數(方程) 及MATLAB程序 171

5.8.4 三次樣條插值函數的收斂性 174

5.9 B-樣條插值 175

5.9.1 m次樣條函數 175

5.9.2 B-樣條函數 176

5.9.3 B-樣條函數的性質 177

習題5 178

第6章 函數最佳逼近 180

6.1 正交多項式 180

6.1.1 正交函數族180

6.1.2 幾個常用的正交多項式 181

6.2 最佳一致逼近 187

6.2.1 一致逼近的概念 187

6.2.2 最佳一致逼近多項式 191

6.2.3 最佳一致逼近多項式的計算 196

6.2.4 最佳一致逼近三角多項式 197

6.3 最佳平方逼近 200

6.3.1 平方度量與平方逼近 200

6.3.2 最佳平方逼近 201

6.4 正交多項式的逼近性質 204

6.4.1 用正交多項式作最佳平方逼近 204

6.4.2 用正交多項式作最佳一致逼近 205

6.5 Fourier 級數的逼近性質 208

6.5.1 最佳平方三角逼近 208

6.5.2 最佳一致三角逼近 209

6.5.3 快速Fourier變換 213

6.6 有理函數逼近 217

6.6.1 連分式逼近 217

6.6.2 Pade逼近 218

6.7 曲線擬合的最小二乘法及MATLAB程序 220

6.7.1 曲線擬合的最小二乘法 220

6.7.2 曲線擬合最小二乘法的MATLAB程序 221

習題6 222

第7章 數值積分 224

7.1 機械求積公式 224

7.1.1 數值積分的基本思想 224

7.1.2 待定係數法 225

7.1.3 插值型求積公式 226

7.1.4 求積公式的收斂性與穩定性 227

7.2 Newton-Cotes 求積公式 228

7.2.1 Newton-Cotes求積公式的一般形式 228

7.2.2 兩種低階的Newton-Cotes求積公式 229

7.2.3 誤差估計 230

7.2.4 Newton-Cotes求積公式的MATLAB程序 232

7.3 複合求積公式 232

7.3.1 複合梯形求積公式及MATLAB程序 233

7.3.2 複合Simpson求積公式及MATLAB程序 234

7.3.3 複合Cotes 求積公式及MATLAB程序 235

7.4 變步長求積公式 236

7.4.1 變步長梯形求積公式及MATLAB程序 236

7.4.2 自適應Simpson 求積公式及MATLAB程序 238

7.5 Romberg 求積算法 241

7.5.1 Romberg 求積公式 241

7.5.2 Romberg 求積算法的MATLAB程序 243

7.6 Gauss 求積公式 244

7.6.1 Gauss 求積公式的構造 245

7.6.2 5 種Gauss 型求積公式 247

7.6.3 Gauss 求積公式及MATLAB程序 252

7.7 MATLAB 中的數值積分函數 254

7.7.1 MATLAB 數值積分函數 254

7.7.2 應用實例 255

習題7 256

第8章 數值微分 259

8.1 中點方法 259

8.1.1 微分中點數值算法 259

8.1.2 微分中點數值算法誤差分析 259

8.2 利用插值方法求微分 260

8.2.1 插值型求導方法 260

8.2.2 常用插值型求數值微分公式 261

8.3 利用數值積分求微分 262

8.3.1 矩形積分方法 262

8.3.2 Simpson 積分方法 263

8.4 利用三次樣條求微分 264

8.5 外推法在數值微分中的應用 264

習題8 265

第9章常微分方程數值解法 266

9.1 數值解法的構造途徑 266

9.1.1 數值解法的基本思想 266

9.1.2 差商逼近法 267

9.1.3 數值積分法 267

9.1.4 Taylor 展開法 268

9.2 Euler 方法及其改進 269

9.2.1 Euler方法及MATLAB程序 269

9.2.2 改進的Euler 方法及MATLAB程序 271

9.2.3 預估-校正方法 277

9.2.4 公式的截斷誤差 278

9.3 Runge-Kutta 方法 278

9.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想 278

9.3.2 二階Runge-Kutta 方法 279

9.3.3 三階與四階Runge-Kutta方法及MATLAB程序 281

9.3.4 變步長的Runge-Kutta方法及MATLAB程序 283

9.4 單步法的相容性、收斂性與穩定性 287

9.4.1 相容性 287

9.4.2 收斂性 288

9.4.3 穩定性 291

9.5 線性多步法 293

9.5.1 線性多步法的一般公式 294

9.5.2 Adams 顯式及隱式公式 295

9.5.3 Milne方法與Simpson方法 297

9.5.4 Hamming 方法 298

9.5.5 預估-校正方法 298

9.6 微分方程組與高階微分方程數值解 300

9.6.1 一階微分方程組 300

9.6.2 高階微分方程 301

9.6.3 剛性方程 302

9.7 求微分方程數值解的MATLAB函數 303

9.7.1 MATLAB中微分方程數值解函數 303

9.7.2 應用實例 304

習題9 305

部分習題答案 308

參考文獻 313 ^[1]