數值計算方法

《數值計算方法/國家林業局普通高等教育“十三五”規劃教材》是國家林業局普通高等教育“十三五”規劃教材。全書共9章，內容包括：數值計算中的誤差、解線性方程組的直接方法、解線性方程組的迭代法、代數插值、函數逼近與曲線擬合、數值積分與數值微分、常微分方程數值解、非線性方程求解、矩陣特徵值問題等。

全書按問題一基礎理論一簡單算法一算法改進一可用算法一應用示例的順序編排，採用嵌入式模式結合具體應用實例來組織教材結構。着重介紹數值算法的基本思想和算法的實現。給出了大部分算法在Matlab環境下可運行的代碼，小部分算法以偽代碼表示，實現過程一般留作課後習題。這樣，有利於提高學生科學計算的能力，從而加深對“數值分析”理論的理解。《數值計算方法/國家林業局普通高等教育“十三五”規劃教材》可作為高等學校數學與應用數學、信息與計算科學、計算機科學與技術、軟件工程等理工科專業的教材，也可作為從事科學與工程計算的科技人員的參考用書。 ^[1] 

前言

第1章 數值計算中的誤差

1．1 誤差來源

1．2 誤差、誤差限及有效數字

1．3 誤差在計算過程中的傳播

1．3．1 誤差在函數值計算過程中的傳播

1．3．2 誤差在四則運算中的傳播

1．4 計算方法的數值穩定性

1．5 秦九韶算法

1．5．1 秦九韶算法基本思想

1．5．2 秦九韶算法及其實現

習題1

第2章 解線性方程組的直接方法

2．1 線性代數基本知識

2．1．1 向量、矩陣的範數及其性質

2．1．2 擾動理論基礎

2．2 線性方程組的直接解法

2．2．1 Gauss消去法

2．2．2 列選主元素Gauss消去法

2．2．3 完全選主元素Gauss消去法

2．2．4 Gauss-Jordan消去法

2．2．5 矩陣的三角分解

2．3 特殊矩陣的直接解法

2．3．1 平方根方法

2．3．2 追趕法

2．4 線性方程組直接解法的誤差分析

習題2

第3章 解線性方程組的迭代法

3．1 迭代法的理論基礎

3．2 簡單迭代法

3．2．1 Jacobi迭代

3．2．2 Gauss-Seidel迭代

3．2．3 逐次超鬆弛迭代法（SOR方法）

3．3 解線性方程組的共軛梯度法

習題3

第4章 代數插值

4．1 引言

4．2 多項式插值

4．2．1 插值多項式的存在唯一性

4．2．2 Lagrange插值

4．2．3 Newton插值

4．3 差分與等距節點插值公式

4．4 Hermite插值

4．5 分段低次插值

4．5．1 分段線性插值

4．5．2 分段三次Hermite插值

4．6 三次樣條插值

4．7 多項式插值算法實現及其應用實例

習題4

第5章 函數逼近與曲線擬合

5．1 引言與預備知識

5．2 最佳一致逼近

5．2．1 一致逼近多項式

5．2．2 最佳一致逼近多項式

5．2．3 Remez算法與Chebyshev插值

5．3 最佳平方逼近

5．3．1 連續函數所構成的內積空間

5．3．2 函數的最佳平方逼近

5．4 正交多項式

5．4．1 線性無關函數族的Schimidt正交化

5．4．2 勒讓德（Legendre）多項式

5．4．3 Chebyshev多項式

5．4．4 其他常用的正交多項式

5．5 函數按正交多項式展開

5．5．1 用正交多項式構造連續函數的最佳平方逼近多項式的一般方法

5．5．2 用Legendre多項式構造連續函數的最佳平方逼近多項式

5．5．3 用三角多項式構造週期函數的最佳平方逼近多項式

5．6 離散數據集的最佳平方逼近

5．6．1 曲線擬合的最小二乘方法

5．6．2 用正交函數作最小二乘擬合

5．7 離散Fourier變換（DFT）與快速Fourier變換算法（FFT）

5．7．1 離散Fourier變換（DFT）

5．7．2 快速Fourier變換（FFT）

習題5

第6章 數值積分與數值微分

6．1 數值求積的基本思想I

6．2 機械求積公式與代數精度

6．2．1 機械求積公式I

6．2．2 插值型的求積公式

6．3 Newton-Cotes公式

6．3．1 Cotes係數

6．3．2 幾種低階Newton-Cotes求積公式的餘項

6．4 復化求積公式及其收斂性

6．4．1 復化梯形求積公式

6．4．2 復化Simpson求積公式

6．4．3 復化Newton-Cotes求積公式

6．5 Romberg算法

6．5．1 梯形法的遞推化

6．5．2 Richardson外推算法

6．5．3 Romberg求積公式

6．6 Gauss求積公式

6．6．1 Gauss點

6．6．2 Gauss-Legendre求積公式

6．6．3 帶權的Gauss求積公式

6．7 數值微分

6．7．1 插值型的求導公式

6．7．2 樣條求導

習題6

第7章 常微分方程數值解

7．1 引言

7．2 Euler方法

7．2．1 Euler格式

7．2．2 後退的Euler格式

7．2．3 Euler兩步格式

7．3 Runge-Kutta方法

7．3．1 二階Runge-Kutta方法

7．3．2 四階Runge-Kutta方法

7．3．3 變步長的Runge-Kutta方法

7．4 單步法的收斂性與穩定性

7．4．1 單步法的收斂性

7．4．2 單步法的穩定性

7．5 線性多步法

7．5．1 基於數值積分的常微分方程數值方法

7．5．2 基於Taylor展開的構造方法

7．6 方程組與高階方程的情形

7．6．1 一階方程組

7．6．2 化高階方程組為一階方程組

7．7 邊值問題的數值解法

7．7．1 差分方程的可解性

7．7．2 差分方法的收斂性

習題7

第8章 非線性方程求解

8．1 根的搜索

8．1．1 逐步搜索法

8．1．2 二分法

8．2 迭代法

8．2．1 迭代過程的收斂性

8．2．2 迭代公式的加速

8．3 牛頓迭代法

8．3．1 牛頓迭代公式

8．3．2 Newton迭代法的局部收斂性

8．3．3 Newton迭代法應用舉例

8．3．4 Newton下山法

8．4 弦截法與拋物線法

8．4．1 弦截法

8．4．2 拋物線法

8．5 代數方程求根

8．5．1 求多項式單根的Newton迭代法

8．5．2 多項式根模的界與實根隔離

8．5．3 多項式復根的計算

習題8

第9章 矩陣特徵值問題

9．1 特徵值的概念以及一般理論

9．1．1 矩陣特徵值、特徵向量及特徵多項式

9．1．2 簡單矩陣的特徵值與特徵向量

9．2 矩陣的正交分解與相似變換

9．2．1 Givens變換

9．2．2 Householder變換

9．2．3 矩陣的QR分解

9．2．4 矩陣的相似變換

9．3 求矩陣特徵值的迭代方法

9．3．1 求矩陣最大特徵值的冪法

9．3．2 反冪法

9．3．3 降階法

9．3．4 正交迭代

9．3．5 求非對稱矩陣全部特徵值的QR方法

習題9

參考文獻