數值計算方法

本書闡述數值計算的基本理論和常用方法，包括誤差分析與算法設計，非線性方程的數值解法，線性方程組的直接法與迭代法，插值法與最小二乘擬合法，數值積分與數值微分，常微分方程的數值解法，矩陣特徵值與特徵向量的計算等；並在附錄中介紹了數值實驗報告的基本格式、Matlab軟件的基本使用方法和C語言文件操作方法．本書建議學時為54學時，其中含數值實驗8學時.書中含有較豐富的例題、習題和數值實驗題，給出了典型算法的偽代碼描述及Matlab軟件提供的相應函數，並編寫出版了與本書配套的複習與實驗指導教材. 本書以實際應用為目的，選材恰當，體系完整，強調數值算法的設計方法和編程實現技能，可作為普通本科院校信息與計算科學、數學與應用數學、統計學、軟件工程、計算機科學與技術等專業本科生學習數值分析或計算方法課程的教材，也可作為其他理工科專業本科生和研究生的參考教材． ^[1] 

第1章數值計算方法概論

1.1數值計算方法的基本內容與特點

1.2誤差的基本理論

1.2.1誤差來源

1.2.2絕對誤差與相對誤差

1.3數值算法設計的原則

本章小結

實驗1算法設計原則與數值穩定性驗證

習題1

第2章非線性方程的數值解法

2.1對分區間法

2.2簡單迭代法

2.2.1簡單迭代法

2.2.2簡單迭代法的收斂性定理

2.2.3局部收斂性

2.2.4收斂速度與收斂的階

2.3Aitken-Steffensen加速法

2.4Newton迭代法

2.4.1Newton迭代法

2.4.2Newton下山法

2.5正割法

本章小結

實驗2非線性方程的迭代解法

習題2

第3章解線性方程組的直接法

3.1Gauss列主元消去法

3.1.1Gauss消去法

3.1.2Gauss列主元消去法

3.2LU分解法

3.2.1Doolittle分解法

3.2.2Crout分解法

3.2.3Cholesky分解法 ^[1] 

3.3三對角方程組的追趕法

本章小結

實驗3解線性方程組的直接法

習題3

第4章線性方程組的迭代法

4.1向量範數與矩陣範數

4.1.1向量的範數

4.1.2矩陣的範數

4.1.3矩陣譜半徑

4.2Jacobi迭代法

4.3Gauss-Seidel迭代法

4.4迭代法的收斂性

4.5逐次超鬆弛迭代法

本章小結

實驗4解線性方程組的迭代法

習題4

第5章插值法與最小二乘擬合法

5.1代數插值法及其唯一性

5.1.1插值多項式及其唯一性

5.1.2插值餘項

5.1.3代數插值的幾何意義

5.2Lagrange插值法

5.3Newton插值法

5.3.1差商及其性質

5.3.2Newton插值多項式

5.4Hermite插值法

5.4.1Hermite插值多項式

5.4.2三次Hermite插值

5.4.3Matlab中的插值函數

5.5三次樣條插值法

5.5.1背景

5.5.2三次樣條插值的概念

5.5.3三彎矩法

5.5.4Matlab中的三次樣條函數

5.6最小二乘擬合法

5.6.1基本概念

5.6.2直線擬合的最小二乘法

5.6.3多項式擬合的最小二乘法

本章小結

實驗5Lagrange插值法與最小二乘擬合法

習題5 ^[1] 

第6章數值積分與數值微分

6.1插值型求積公式

6.1.1插值型求積公式的構造

6.1.2插值型求積公式的餘項

6.1.3求積公式的代數精度

6.2三個常用的求積公式及其誤差

6.2.1梯形公式

6.2.2Simpson公式

6.2.3Cotes公式

6.3復化求積公式

6.3.1復化梯形公式

6.3.2復化Simpson公式

6.3.3復化Cotes公式*

6.3.4算法實現

6.4Romberg求積公式

6.4.1變步長求積公式

6.4.2Romberg求積公式

6.4.3算法實現

6.5Gauss求積公式

6.5.1Gauss公式的定義

6.5.2Gauss點的性質

6.5.3Gauss公式的構造

6.6數值微分法

本章小結

實驗6復化求積法與變步長求積法

習題6

第7章常微分方程的數值解法

7.1Euler方法

7.1.1Euler方法

7.1.2改進的Euler公式(預測—校正法)

7.1.3局部截斷誤差與方法的階

7.2高階Taylor方法

7.3Runge-Kutta法

7.3.12階R-K公式

7.3.23階/4階R-K公式

7.3.3Matlab中用R-K方法解常微分方程的函數

本章小結

實驗7常微分方程的Euler方法與R-K方法

習題7

第8章矩陣的特徵值與特徵向量的計算

8.1乘冪法與反冪法

8.1.1計算模最大特徵值的乘冪法

8.1.2算法實現

8.1.3反冪法

8.2QR方法

8.2.1鏡像矩陣

8.2.2矩陣的QR分解

8.2.3QR方法

本章小結

實驗8求矩陣特徵值的乘冪法與反冪法

習題8

附錄A數值實驗報告的基本格式

附錄BMatlab簡介

B.1基本運算

B.2繪圖功能

B.3編程入門

B.4數據的輸入與輸出

附錄CC/C++的數據輸入輸出與文件操作

C.1數據的格式化輸入與輸出

C.2輸入與輸出流

C.3通過文件指針操作

C.4通過文件流操作

參考文獻 ^[1]