有理函數逼近

有理函數是兩個代數多項式之比，其中分母在所考慮的自變量區間內不等於零。在切比雪夫研究多項式逼近的同時也就已經考慮了有理函數的最佳逼近理論。但真正受到重視是在1964 年紐曼(D.J.Newman) 發現用 n 次有理麗數在

上通近麗數

的過近度可以達到

的驚人結果發表以後。許多與代數多項式逼近問題可對有理函數通近作平行的討論。例如，關於有理逼近的正定理和逆定理也都已建立。 ^[1] 

С.Η.伯恩斯坦、A.И.阿希耶澤爾及E.И.佐洛塔廖夫等應用切比雪夫理論解決了一系列具體函數用有理函數的最佳逼近問題。特別是左洛塔廖夫研究了在二個不同區間上具體函數的有理函數最佳逼近問題，這在濾波理論上有重要的應用。

以後，在Α.Η.柯爾莫哥洛夫和C.H.梅爾捷良等影響下，A.A.貢恰爾、Ε.∏.多爾任科、A.∏.布拉諾夫、∏.∏.彼得魯曉夫等作了很多深刻的研究。特別地，在50年代開始，他們對逼近的反問題，即從有理函數最佳逼近值趨向於零的速度來研究逼近函數的結構性質方面作了一系列的研究。以後在正問題上，即從函數的結構性質來研究有理函數最佳逼近階的估計以及在研究有理函數最佳逼近值與多項式逼近值之間的關係與差別方面也得到了不少重要的結果。

應該指出，在正問題方面，D.J.紐曼在1964年跨出了關鍵性的一步，他指出對│x│用n次有理函數逼近得到的階的估計為

，則ƒ(x)可以從 [-1,1] 解析開拓到以±1為焦點，長短半軸之和為R的橢圓中去。但是對於有理函數逼近,情況可以完全不同,不管R_n(ƒ;[-1,1])以多麼快的速度趨向於零，仍然不能保證ƒ(x)在[-1,1]上有很好的結構性質，更談不上具有解析性質了。必須除去一個例外集，ƒ(x)才有較好的結構性質。有人還將這些結果推廣到複數域中去。

如果想要從有理函數逼近的速度來推出函數在整個逼近的區間上被逼近函數的性質，就還需要給出有理函數極點分佈的情況。這實際上也與給定極點有理函數逼近的逆定理有關了。